Konsepsiyalar xətti asılılıq və xətti müstəqillik sətir və sütunlar üçün bərabər şəkildə müəyyən edilir. Buna görə də, sütunlar üçün tərtib edilmiş bu anlayışlarla əlaqəli xüsusiyyətlər, əlbəttə ki, satırlar üçün də etibarlıdır.

1. Sütun sisteminə sıfır sütun daxildirsə, o, xətti asılıdır.

2. Sütun sisteminin iki bərabər sütunu varsa, o, xətti asılıdır.

3. Sütun sistemində iki mütənasib sütun varsa, o, xətti asılıdır.

4. Sütunlar sistemi o zaman xətti asılı olur ki, sütunlardan ən azı biri digərlərinin xətti kombinasiyası olsun.

5. Xətti müstəqil sistemə daxil olan hər hansı sütunlar xətti müstəqil alt sistem təşkil edir.

6. Xətti asılı alt sistemi ehtiva edən sütunlar sistemi xətti asılıdır.

7. Sütunlar sistemi xətti müstəqildirsə və ona bir sütun əlavə etdikdən sonra xətti asılı olduğu ortaya çıxırsa, sütun sütunlara parçalana bilər və üstəlik, özünəməxsus şəkildə, yəni. genişlənmə əmsalları unikal şəkildə tapıla bilər.

Məsələn, sonuncu mülkü sübut edək. Sütunlar sistemi xətti asılı olduğundan, hamısı 0-a bərabər olmayan ədədlər var

Bu bərabərlikdə. Əslində, əgər, onda

Bu o deməkdir ki, sütunların qeyri-trivial xətti birləşməsi sistemin xətti müstəqilliyinə zidd olan sıfır sütuna bərabərdir. Buna görə də, sonra da, yəni. sütun sütunların xətti birləşməsidir. Belə bir təmsilin unikallığını göstərmək qalır. Bunun əksini fərz edək. Qoy iki genişlənmə və , genişlənmələrin bütün əmsalları müvafiq olaraq bir-birinə bərabər olmasın (məsələn, ). Sonra bərabərlikdən

Biz (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o alırıq

ardıcıl olaraq, sütunların xətti birləşməsi sıfır sütununa bərabərdir. Onun bütün əmsalları sıfıra bərabər olmadığından (ən azı), bu birləşmə qeyri-trivialdır, bu da sütunların xətti müstəqilliyi şərtinə ziddir. Yaranan ziddiyyət genişlənmənin unikallığını təsdiqləyir.

Misal 3.2. Sıfırdan fərqli iki sütunun xətti asılı olduğunu sübut edin və yalnız mütənasib olduqda, yəni. .

Həll.Əslində, əgər sütunlar xətti asılıdırsa, onda eyni zamanda sıfıra bərabər olmayan ədədlər var ki, . Və bu bərabərlikdə. Həqiqətən, fərz etsək ki, biz ziddiyyət əldə edirik, çünki sütun da sıfırdan fərqlidir. O deməkdir ki, . Ona görə də elə bir rəqəm var ki . Ehtiyac sübut olunub.

Əksinə, əgər varsa, onda. Sıfır sütuna bərabər olan sütunların qeyri-trivial xətti birləşməsini əldə etdik. Bu o deməkdir ki, sütunlar xətti asılıdır.

Misal 3.3. Sütunlardan əmələ gələn bütün növ sistemləri nəzərdən keçirək

Hər bir sistemi xətti asılılıq üçün yoxlayın.
Həll. Hər birində bir sütun olan beş sistemi nəzərdən keçirək. Qeydlər 3.1-in 1-ci bəndinə əsasən: sistemlər xətti müstəqildir və bir sıfır sütundan ibarət sistem xətti asılıdır.

İki sütundan ibarət sistemləri nəzərdən keçirək:

– dörd sistemin hər biri xətti asılıdır, çünki sıfır sütunu ehtiva edir (xüsusiyyət 1);

– sütunlar mütənasib olduğundan sistem xətti asılıdır (3-cü xassə): ;

– beş sistemin hər biri xətti müstəqildir, çünki sütunlar qeyri-mütənasibdir (Misal 3.2-nin bəyanatına bax).

Üç sütundan ibarət sistemləri nəzərdən keçirin:

– altı sistemin hər biri xətti asılıdır, çünki sıfır sütunu ehtiva edir (xüsusiyyət 1);

– sistemlər xətti asılıdır, çünki onlar xətti asılı altsistemdən ibarətdir (xüsusiyyət 6);

– sistemlər və xətti asılıdır, çünki sonuncu sütun qalanlar vasitəsilə xətti şəkildə ifadə edilir (xassəli 4): və müvafiq olaraq.

Nəhayət, dörd və ya beş sütunlu sistemlər xətti asılıdır (xassəyə görə 6).

Matris dərəcəsi

Bu bölmədə biz matrisin sətirlərinin (sütunlarının) bir-birindən nə dərəcədə asılı olması ilə bağlı digər mühüm ədədi xarakteristikasını nəzərdən keçirəcəyik.

Tərif 14.10Ölçülər matrisi və ədədlərin ən kiçikindən çox olmayan bir ədəd verilsin: . Gəlin təsadüfi olaraq matrisin sətir və sütunlarını seçək (sətir nömrələri sütun nömrələrindən fərqli ola bilər). Seçilmiş sətirlərin və sütunların kəsişməsindəki elementlərdən ibarət matrisin təyinedicisinə matris sırası minoru deyilir.

Misal 14.9 Qoy .

Birinci dərəcəli minor matrisin istənilən elementidir. Beləliklə, 2, , birinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlardır.

İkinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar:

1. sətir 1, 2, sütun 1, 2 götürürük, biz minor alırıq ;

2. sətir 1, 3, sütun 2, 4 götürürük, biz minor alırıq ;

3. 2, 3-cü sətirləri, 1, 4-cü sütunları götürürük, minor alırıq

Üçüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar:

buradakı sıralar yalnız bir şəkildə seçilə bilər,

1. 1, 3, 4-cü sütunları götürək, minor alırıq ;

2. 1, 2, 3-cü sütunları götürək, minor alırıq .

Təklif 14.23 Sifariş matrisinin bütün kiçikləri sıfıra bərabərdirsə, onda nizamın bütün kiçikləri, əgər varsa, sıfıra bərabərdir.

Sübut. Gəlin ixtiyari bir kiçik sifariş götürək. Bu, sifariş matrisinin determinantıdır. Gəlin onu birinci sətir boyunca parçalayaq. Sonra genişlənmənin hər müddətində amillərdən biri orijinal matrisin sırasının kiçik hissəsi olacaqdır. Şərtə görə, sifarişli yetkinlik yaşına çatmayanlar sıfıra bərabərdir. Buna görə də, sifarişin minoru sıfıra bərabər olacaqdır.

Tərif 14.11 Bir matrisin dərəcəsi sıfırdan fərqli olan matrisin kiçiklərinin sıralarının ən böyüyüdür. Sıfır matrisin dərəcəsi sıfır hesab olunur.

Matris dərəcəsi üçün vahid, standart təyinat yoxdur. Dərslikdən sonra onu işarə edəcəyik.

Misal 14.10 Misal 14.9-un matrisi 3-cü dərəcəyə malikdir, çünki sıfırdan başqa üçüncü dərəcəli minor var, lakin dördüncü dərəcəli kiçiklər yoxdur.

Matris dərəcəsi 1-ə bərabərdir, çünki birinci dərəcəli sıfırdan fərqli minor (matris elementi) var və ikinci dərəcəli bütün minorlar sıfıra bərabərdir.

Qeyri-tək olmayan kvadrat düzülüş matrisinin rütbəsi bərabərdir, çünki onun determinantı sıranın minorudur və qeyri-tək olmayan matris üçün sıfırdan fərqlidir.

Təklif 14.24 Matris köçürüldükdə onun dərəcəsi dəyişmir, yəni .

Sübut. Orijinal matrisin köçürülmüş minoru köçürülmüş matrisin minoru olacaq və əksinə, hər hansı bir kiçik orijinal matrisin köçürülmüş minorudur. Köçürülən zaman determinant (kiçik) dəyişmir (Təklif 14.6). Buna görə də, orijinal matrisdəki bir sıranın bütün kiçikləri sıfıra bərabərdirsə, eyni sıradakı bütün kiçiklər də sıfıra bərabərdir. Əgər orijinal matrisdəki qaydanın minoru sıfırdan fərqlidirsə, onda sıfırdan fərqli eyni sıralı minor var. Beləliklə, .

Tərif 14.12 Matrisin rütbəsi olsun. Sonra sıfırdan başqa hər hansı bir minor əsas minor adlanır.

Misal 14.11 Qoy . Üçüncü sıra ilk ikisinin cəminə bərabər olduğundan matrisin təyinedicisi sıfırdır. İlk iki cərgədə və ilk iki sütunda yerləşən ikinci dərəcəli minor bərabərdir . Nəticə etibarilə, matrisin rütbəsi iki, hesab edilən kiçik isə əsasdır.

Əsas azyaşlı eyni zamanda, məsələn, birinci və üçüncü sətirlərdə, birinci və üçüncü sütunlarda yerləşən kiçikdir: . Baza ikinci və üçüncü sıralarda, birinci və üçüncü sütunlarda kiçik olacaq: .

Birinci və ikinci sətirlərdə və ikinci və üçüncü sütunlarda minor sıfırdır və buna görə də əsas olmayacaq. Oxucu müstəqil olaraq digər ikinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanların hansı əsas, hansının olmayacağını yoxlaya bilər.

Matrisin sütunlarını (sətirlərini) toplamaq, ədədlərə vurmaq və xətti birləşmələr yaratmaq mümkün olduğundan, matrisin sütunlar (sətirlər) sisteminin xətti asılılığının və xətti müstəqilliyinin təriflərini təqdim etmək mümkündür. Bu təriflər vektorlar üçün eyni 10.14, 10.15 təriflərinə bənzəyir.

Tərif 14.13 Sütunlar (sətirlər) sistemi, ən azı biri sıfırdan fərqli olan belə bir əmsal dəsti varsa, bu əmsallarla sütunların (sətirlərin) xətti birləşməsi sıfıra bərabər olacaqsa, xətti asılı adlanır.

Tərif 14.14 Bu sütunların (sətirlərin) xətti birləşməsinin sıfıra bərabərliyi bu xətti birləşmənin bütün əmsallarının sıfıra bərabər olduğunu nəzərdə tutursa, sütunlar (sətirlər) sistemi xətti müstəqildir.

Təklif 10.6-ya bənzər aşağıdakı təklif də doğrudur.

Cümlə 14.25 Sütunlar (sətirlər) sistemi o zaman xətti asılıdır ki, sütunlardan biri (sətirlərdən biri) bu sistemin digər sütunlarının (sətirlərinin) xətti birləşməsidir.

adlı teoremi tərtib edək əsas minor teoremi.

Teorem 14.2 İstənilən matris sütunu əsas minordan keçən sütunların xətti birləşməsidir.

Sübut xətti cəbr dərsliklərində tapıla bilər, məsələn,.

Təklif 14.26 Matrisin dərəcəsi xətti müstəqil bir sistem təşkil edən sütunlarının maksimum sayına bərabərdir.

Sübut. Matrisin rütbəsi olsun. Baza minordan keçən sütunları götürək. Tutaq ki, bu sütunlar xətti asılı sistem təşkil edir. Sonra sütunlardan biri digərlərinin xətti birləşməsidir. Buna görə də, minor əsasda bir sütun digər sütunların xətti kombinasiyası olacaqdır. 14.15 və 14.18-ci müddəalara əsasən, bu minor bazis sıfıra bərabər olmalıdır ki, bu da minor əsasının tərifinə ziddir. Ona görə də bazis minorundan keçən sütunların xətti asılı olması fərziyyəsi doğru deyil. Beləliklə, xətti müstəqil bir sistem meydana gətirən sütunların maksimum sayı -dən böyük və ya bərabərdir.

Tutaq ki, sütunlar xətti müstəqil sistem təşkil edir. Onlardan bir matris yaradaq. Bütün matris minorları matris minorlarıdır. Buna görə də, matrisin əsas minorunun -dən böyük olmayan sırası var. Əsas minor teoreminə görə, matrisin əsas minorundan keçməyən sütun, əsas minordan keçən sütunların xətti birləşməsidir, yəni matrisin sütunları xətti asılı bir sistem təşkil edir. Bu, matrisi təşkil edən sütunların seçiminə ziddir. Nəticə etibarilə, xətti müstəqil sistemi təşkil edən sütunların maksimum sayı -dən çox ola bilməz. Bu o deməkdir ki, deyilənlərə bərabərdir.

Təklif 14.27 Bir matrisin dərəcəsi xətti müstəqil bir sistem meydana gətirən onun cərgələrinin maksimum sayına bərabərdir.

Sübut. Təklif 14.24-ə əsasən, matrisin rütbəsi transpozisiya zamanı dəyişmir. Matrisin sətirləri onun sütunlarına çevrilir. Xətti müstəqil sistem təşkil edən köçürülmüş matrisin (orijinalın keçmiş sətirləri) yeni sütunlarının maksimum sayı matrisin dərəcəsinə bərabərdir.

Təklif 14.28 Əgər matrisin təyinedicisi sıfırdırsa, onun sütunlarından biri (sətirlərdən biri) qalan sütunların (sətirlərin) xətti birləşməsidir.

Sübut. Matris sırası bərabər olsun. Determinant kvadrat matrisin nizamı olan yeganə kiçikidir. Sıfıra bərabər olduğundan, onda . Nəticə etibarilə, sütunlar (sətirlər) sistemi xətti asılıdır, yəni sütunlardan biri (sətirlərdən biri) digərlərinin xətti birləşməsidir.

14.15, 14.18 və 14.28 müddəalarının nəticələri aşağıdakı teoremi verir.

Teorem 14.3 Matrisin determinantı yalnız və yalnız onun sütunlarından biri (sətirlərdən biri) qalan sütunların (sətirlərin) xətti birləşməsidirsə, sıfıra bərabərdir.

Bütün kiçikləri hesablayaraq matrisin rütbəsini tapmaq həddindən artıq hesablama işi tələb edir. (Oxucu dördüncü dərəcəli kvadrat matrisdə 36 ikinci dərəcəli kiçiklərin olduğunu yoxlaya bilər.) Buna görə də dərəcəni tapmaq üçün fərqli alqoritmdən istifadə edilir. Onu təsvir etmək üçün bir sıra əlavə məlumat tələb olunacaq.

Tərif 14.15 Onlar üzrə aşağıdakı hərəkətləri matrislərin elementar çevrilmələri adlandıraq:

1) sətirlərin və ya sütunların yenidən təşkili;
2) sətir və ya sütunun sıfırdan fərqli rəqəmə vurulması;
3) sətirlərdən birinə ədədə vurulan başqa bir sətir əlavə etmək və ya sütunlardan birinə ədədlə vurulmuş başqa bir sütun əlavə etmək.

Təklif 14.29 Elementar çevrilmələr zamanı matrisin rütbəsi dəyişmir.

Sübut. Matrisin dərəcəsi , - elementar çevrilmənin aparılması nəticəsində yaranan matrisə bərabər olsun.

Sətirlərin dəyişdirilməsini nəzərdən keçirək. Matrisin minoru olsun, onda matrisin onunla üst-üstə düşən və ya cərgələri yenidən təşkil etməklə fərqlənən minoru var. Əksinə, hər hansı bir kiçik matris cərgə sırasına görə onunla üst-üstə düşən və ya ondan fərqlənən matris minoru ilə əlaqələndirilə bilər. Deməli, matrisdəki nizamın bütün minorlarının sıfıra bərabər olmasından belə nəticə çıxır ki, matrisdə bu sıranın bütün kiçikləri də sıfıra bərabərdir. Və matrisin sıfırdan fərqli bir minor sırası olduğuna görə, matrisin də sıfırdan fərqli bir minor sırası var, yəni .

Bir sətri sıfırdan fərqli bir rəqəmə vurmağı düşünün. Bir matrisin minoru yalnız bir cərgədə onunla üst-üstə düşən və ya ondan fərqli olan matrisin minoruna uyğun gəlir ki, bu da kiçik cərgədən sıfırdan başqa ədədə vurulmaqla alınır. Sonuncu halda. Bütün hallarda və ya hər ikisi sıfıra bərabərdir və ya eyni zamanda sıfırdan fərqlidir. Beləliklə, .

Qoy

Ölçü matrisinin sütunları. Matris sütunlarının xətti birləşməsi bəzi real və ya mürəkkəb ədədlər adlanan sütun matrisi adlanır xətti birləşmə əmsalları. Əgər xətti birləşmədə bütün əmsalları sıfıra bərabər götürsək, onda xətti kombinasiya sıfır sütun matrisinə bərabərdir.

Matrisin sütunları adlanır xətti müstəqil , əgər onların xətti kombinasiyası sıfıra bərabərdirsə, yalnız xətti birləşmənin bütün əmsalları sıfıra bərabər olduqda. Matrisin sütunları adlanır xətti asılıdır , ən azı birinin sıfırdan fərqli olduğu bir sıra ədədlər varsa və bu əmsallarla sütunların xətti birləşməsi sıfıra bərabərdirsə

Eynilə, matris sıralarının xətti asılılığının və xətti müstəqilliyinin tərifləri verilə bilər. Bundan sonra bütün teoremlər matrisin sütunları üçün tərtib edilmişdir.

Teorem 5

Əgər matris sütunları arasında sıfır varsa, o zaman matrisin sütunları xətti asılıdır.

Sübut. Bütün sıfır olmayan sütunlar üçün bütün əmsalların sıfıra və bütün sıfır sütunlar üçün birinə bərabər olan xətti birləşməni nəzərdən keçirək. Sıfıra bərabərdir və xətti birləşmənin əmsalları arasında sıfırdan fərqli bir əmsal var. Buna görə də matrisin sütunları xətti asılıdır.

Teorem 6

Əgər matris sütunları xətti asılıdır, hamısı budur matrisin sütunları xətti asılıdır.

Sübut. Dəqiqlik üçün, matrisin ilk sütunlarının olduğunu fərz edəcəyik xətti asılı. Sonra, xətti asılılığın tərifinə əsasən, ən azı birinin sıfırdan fərqli olduğu və bu əmsallarla sütunların xətti birləşməsi sıfıra bərabər olan bir sıra ədədlər var.

Sıfır əmsallı qalan sütunlar da daxil olmaqla, matrisin bütün sütunlarının xətti birləşməsini edək.

Amma . Buna görə də matrisin bütün sütunları xətti asılıdır.

Nəticə. Xətti müstəqil matris sütunları arasında hər hansı bir xətti müstəqildir. (Bu ifadə asanlıqla ziddiyyətlə sübut edilə bilər.)

Teorem 7

Matrisin sütunlarının xətti asılı olması üçün matrisin ən azı bir sütununun digərlərinin xətti kombinasiyası zəruri və kifayətdir.

Sübut.

Zərurət. Matrisin sütunları xətti asılı olsun, yəni ən azı birinin sıfırdan fərqli olduğu və bu əmsallarla sütunların xətti birləşməsi sıfıra bərabər olan bir sıra ədədlər var.

Qətilik üçün fərz edək ki. Yəni, birinci sütun qalanların xətti birləşməsidir.

Adekvatlıq. Matrisin ən azı bir sütunu digərlərinin xətti kombinasiyası olsun, məsələn, bəzi ədədlər haradadır.

Onda , yəni sütunların xətti kombinasiyası sıfıra bərabərdir və xətti kombinasiyadakı ədədlər arasında ən azı biri (at ) sıfırdan fərqlidir.

Matrisin rütbəsi olsun. 1-ci dərəcəli hər hansı sıfır olmayan minor çağırılır əsas . Kəsişməsində əsas minor olan sətir və sütunlar deyilir əsas .

Xətti müstəqillik matris sıraları

Ölçü matrisi verilmişdir

Matrisin sətirlərini aşağıdakı kimi işarə edək:

İki xətt adlanır bərabərdir , əgər onların müvafiq elementləri bərabərdirsə. .

Bir sətri ədədə vurma və sətir əlavə etmə əməliyyatlarını element-element yerinə yetirən əməliyyatlar kimi təqdim edək:

Tərif. Bu cərgələrin hasillərinin ixtiyari həqiqi ədədlər (hər hansı rəqəmlər) ilə cəminə bərabərdirsə, cərgəyə matris sətirlərinin xətti kombinasiyası deyilir:

Tərif. Matrisin sətirləri adlanır xətti asılıdır , əgər eyni vaxtda sıfıra bərabər olmayan ədədlər varsa, belə ki, matrisin sətirlərinin xətti kombinasiyası sıfır cərgəyə bərabər olsun:

Harada. (1.1)

Matris cərgələrinin xətti asılılığı matrisin ən azı 1 cərgəsinin qalanlarının xətti kombinasiyası olduğunu bildirir.

Tərif.Əgər sətirlərin xətti kombinasiyası (1.1) sıfıra bərabərdirsə və yalnız bütün əmsallar olduqda, o zaman cərgələr adlanır. xətti müstəqil .

Matris dərəcə teoremi. Matrisin rütbəsi xətti olaraq onun maksimum sayına bərabərdir müstəqil xətlər və ya bütün digər sətirlərin (sütunların) xətti olaraq ifadə olunduğu sütunlar.

Teorem matris analizində, xüsusən də sistemlərin öyrənilməsində fundamental rol oynayır xətti tənliklər.

6, 13,14,15,16. Vektorlar. Vektorlar üzərində əməliyyatlar (toplama, çıxma, ədədə vurma),n -ölçülü vektor. Vektor fəzası anlayışı və onun əsasları.

Vektor başlanğıc nöqtəsi olan istiqamətlənmiş seqmentdir A və son nöqtə IN(özünə paralel olaraq köçürülə bilər).

Vektorlar ya 2 böyük hərflə, ya da xətt və ya ox ilə bir kiçik hərflə təyin oluna bilər.

Uzunluq (və ya modul) vektor vektoru təmsil edən AB seqmentinin uzunluğuna bərabər ədəddir.

Eyni və ya paralel xətlər üzərində yerləşən vektorlar deyilir kollinear .

Əgər vektorun başlanğıcı və sonu üst-üstə düşürsə (), onda belə vektor deyilir sıfır və = işarəsi verilir. Sıfır vektorun uzunluğu sıfırdır:

1) Vektor və ədədin hasili:

İstiqaməti if vektorunun istiqaməti ilə üst-üstə düşən və əgər varsa ona əks olan uzunluğu olan bir vektor olacaq.

2) Qarşı vektor - vektorun məhsulu adlanır - nömrəyə(-1), yəni. -=.

3) İki vektorun cəmi başlanğıcı vektorun başlanğıcı ilə, sonu isə vektorun sonu ilə üst-üstə düşən vektor adlanır, bu şərtlə ki, başlanğıc sonla üst-üstə düşsün. (üçbucaqlar qaydası). Bir neçə vektorun cəmi eyni şəkildə müəyyən edilir.

4) İki vektorun fərqi və vektor və vektorun cəmi adlanır -, əks.

Nöqtə məhsulu

Tərif: İki vektorun skalyar hasili bu vektorların uzunluqlarının hasilinə və aralarındakı bucağın kosinusuna bərabər ədəddir:

n ölçülü vektor və vektor fəzası

Tərif. N-ölçülü vektor sifarişli topludur n şəklində yazılmış həqiqi ədədlər x = (x 1,x 2,…,x n), Harada x i – i vektorun -ci komponenti X.

İqtisadiyyatda n-ölçülü vektor anlayışı geniş istifadə olunur, məsələn, müəyyən əmtəə dəsti vektor ilə xarakterizə edilə bilər. x = (x 1,x 2,…,x n), və müvafiq qiymətlər y = (y 1,y 2,…,y n).

- İki n ölçülü vektor bərabərdir yalnız və yalnız onların müvafiq komponentləri bərabər olduqda, yəni. x=y, əgər x i= y i, i = 1,2,…,n.

- İki vektorun cəmi eyni ölçüdə n vektor deyilir z = x + y, onun komponentləri cəm vektorlarının müvafiq komponentlərinin cəminə bərabərdir, yəni. z i= x i+ y i, i = 1,2,…, n.

- X vektorunun və həqiqi ədədin məhsulu komponentləri vektorun müvafiq komponentlərinin hasilinə bərabər olan vektor adlanır, yəni. , i= 1,2,…,n.

Xətti əməliyyatlar istənilən vektor üzərində aşağıdakı xassələri ödəyir:

1) - cəminin kommutativ (kommutativ) xassəsi;

2) - cəminin assosiativ (kombinativ) xassəsi;

3) - ədədi amillə əlaqədar assosiativ xassə;

4) - vektorların cəminə nisbətən paylayıcı (paylayıcı) xassə;

5) - ədədi amillərin cəminə görə bölgü xassəsi;

6) Sıfır vektoru var ki, hər hansı vektor üçün (sıfır vektorunun xüsusi rolu);

7) İstənilən vektor üçün əks vektor var ki, ;

8) hər hansı vektor üçün (ədədi amilin xüsusi rolu 1).

Tərif. Vektorların toplanması və vektorun yuxarıdakı səkkiz xassəni (aksiomlar kimi nəzərə alınır) təmin edən ədədə vurması əməliyyatlarının təyin olunduğu real komponentləri olan vektorlar toplusu adlanır. vektor vəziyyəti .

Vektor fəzasının ölçüsü və əsası

Tərif. Xətti fəza adlanır n-ölçülü , əgər varsa n xətti müstəqil vektorlar və vektorlardan hər hansı biri artıq asılıdır. Başqa sözlə, məkan ölçüsü onun ehtiva etdiyi xətti müstəqil vektorların maksimum sayıdır. N rəqəmi fəzanın ölçüsü adlanır və ilə işarələnir.

n ölçülü fəzada n xətti müstəqil vektordan ibarət çoxluğa deyilir əsas .

7. Bir matrisin xüsusi vektorları və xüsusi qiymətləri. Matrisin xarakterik tənliyi.

Tərif. vektor deyilir məxsus vektor xətti operator, əgər belə bir nömrə varsa:

Nömrə uyğun adlanır operator dəyəri (matrislər A), vektora uyğundur.

Matris şəklində yazıla bilər:

Vektor koordinatlarının sütun matrisi haradadır və ya genişləndirilmiş formada:

Sistemi yenidən yazaq ki, sağ tərəflərdə sıfırlar olsun:

və ya matris şəklində: . Yaranan homojen sistemin həmişə sıfır həlli var. Sıfırdan fərqli həllin mövcudluğu üçün sistemin determinantının olması zəruri və kifayətdir: .

Determinant çoxhədlidir n-yə nisbətən ci dərəcə. Bu polinom deyilir operatorun xarakterik polinomu və ya A matrisi və nəticədə tənlik belədir operatorun xarakterik tənliyi və ya A matrisi.

Misal:

Matris tərəfindən verilən xətti operatorun xüsusi qiymətlərini və xüsusi vektorlarını tapın.

Həlli: Xarakterik tənliyi tərtib edirik və ya xətti operatorun xüsusi dəyəri buradandır.

Xüsusi qiymətə uyğun olan xüsusi vektoru tapırıq. Bunun üçün matris tənliyini həll edirik:

Və ya , və ya , tapdığımız yerdən: , və ya

Və ya .

Fərz edək ki, vektorları, hər hansı bir üçün, xüsusi dəyəri olan xətti operatorun xüsusi vektorlarıdır.

Eynilə, vektor.

8. Sistem n ilə xətti tənliklər n dəyişənlər ( ümumi görünüş). Belə bir sistemin qeydinin matris forması. Sistem həlli (tərif). Xətti tənliklərin ardıcıl və uyğun olmayan, müəyyən və qeyri-müəyyən sistemləri.

Məlum olmayan xətti tənliklər sisteminin həlli

İqtisadiyyatda xətti tənliklər sistemlərindən geniş istifadə olunur.

Dəyişənləri olan xətti tənliklər sistemi aşağıdakı formaya malikdir:

,

burada () ixtiyari nömrələr adlanır dəyişənlər üçün əmsallar Və tənliklərin sərbəst şərtləri , müvafiq olaraq.

Qısa giriş: ().

Tərif. Sistemin həlli, əvəz edildikdə sistemin hər bir tənliyi həqiqi bərabərliyə çevrilən dəyərlər toplusudur.

1) Tənliklər sistemi adlanır birgə , ən azı bir həlli varsa və birgə olmayan, heç bir həll yolu yoxdursa.

2) Sinxron tənliklər sistemi adlanır müəyyən , onun unikal həlli varsa və qeyri-müəyyən , əgər onun birdən çox həlli varsa.

3) İki tənlik sistemi deyilir ekvivalent (ekvivalent) , əgər onlar eyni həllər toplusuna malikdirlərsə (məsələn, bir həll).

Sistemi matris şəklində yazaq:

işarə edək: , Harada

A– dəyişənlər üçün əmsallar matrisi və ya sistemin matrisi, X – dəyişənlərin matris sütunu, IN – matris-sərbəst üzvlərin sütunu.

Çünki matrisin sütunlarının sayı matrisin sətirlərinin sayına bərabərdir, onda onların məhsulu belədir:

Sütun matrisi var. Yaranan matrisin elementləri ilkin sistemin sol hissələridir. Matris bərabərliyinin tərifinə əsaslanaraq ilkin sistemşəklində yazıla bilər: .

Kramer teoremi. Sistemin matrisinin determinantı olsun və ci sütunu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz etməklə matrisdən alınan matrisin müəyyənedicisi olsun. Sonra, əgər , onda sistemin düsturlarla təyin olunan unikal həlli var:

Kramer düsturu.

Misal. Kramer düsturlarından istifadə edərək tənliklər sistemini həll edin

Həll. Sistem matrisinin təyinedicisi. Buna görə sistemin unikal həlli var. Birinci, ikinci, üçüncü sütunları müvafiq olaraq sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz etməklə əldə edilən hesablayaq:

Kramerin düsturlarına görə:

9. Sistemin həlli üçün Qauss üsulun ilə xətti tənliklər n dəyişənlər. Jordan-Gauss metodu konsepsiyası.

Gauss üsulu - dəyişənlərin ardıcıl aradan qaldırılması üsulu.

Gauss metodu ondan ibarətdir ki, elementar cərgə çevrilmələrindən və sütun dəyişdirmələrindən istifadə edərək, tənliklər sistemi sonuncudan başlayaraq ardıcıl olaraq bütün digər dəyişənlərin tapıldığı addımlı (və ya üçbucaqlı) formanın ekvivalent sisteminə endirilir. sayı ilə) dəyişənlər.

Qauss çevrilmələrini tənliklərin özləri ilə deyil, matrisə sərbəst şərtlər sütunu təyin etməklə əldə edilən əmsallarının genişləndirilmiş matrisi ilə aparmaq rahatdır:

.

Qeyd etmək lazımdır ki, Qauss üsulu istənilən formalı tənliklər sistemini həll edə bilər .

Misal. Gauss metodundan istifadə edərək sistemi həll edin:

Sistemin uzadılmış matrisini yazaq.

Addım 1 . Birinci və ikinci sətirləri elə əvəz edək ki, 1-ə bərabər olsun.

Addım 2. Birinci sətrin elementlərini (–2) və (–1)-ə vurub ikinci və üçüncü sətirlərin elementlərinə əlavə edək ki, birinci sütundakı elementin altında sıfırlar görünsün. .

Xətti tənliklərin sinxron sistemləri üçün aşağıdakı teoremlər doğrudur:

Teorem 1. Birgə sistemin matrisinin dərəcəsi dəyişənlərin sayına bərabərdirsə, yəni. , onda sistemin unikal həlli var.

Teorem 2. Birgə sistemin matrisinin dərəcəsi dəyişənlərin sayından azdırsa, yəni. , onda sistem qeyri-müəyyəndir və sonsuz sayda həllə malikdir.

Tərif. Bir matrisin əsas minoru sırası matrisin dərəcəsinə bərabər olan sıfırdan fərqli hər hansı bir minordur.

Tərif.Əmsalları əsas minorun qeydinə daxil olan naməlumlar əsas (və ya əsas), qalan naməlumlar isə sərbəst (və ya qeyri-əsas) adlanır.

İşdə tənliklər sisteminin həlli ifadə etmək deməkdir və (çünki onların əmsallarından ibarət müəyyənedici sıfıra bərabər deyil), onda və sərbəst naməlumlardır.

Əsas dəyişənləri sərbəst olanlarla ifadə edək.

Yaranan matrisin ikinci cərgəsindən dəyişəni ifadə edirik:

Birinci sətirdən ifadə edirik: ,

Ümumi həll tənliklər sistemləri: , .

Ölçüləri (m; n) olan A matrisində k sətir və k sütun (k ≤ min(m; n)) təsadüfi seçilsin. Seçilmiş sətir və sütunların kəsişməsində yerləşən matrisin elementləri k düzənli kvadrat matris təşkil edir ki, onun determinantı k y dərəcəli kiçik M kk və ya A matrisinin k-ci dərəcəli minoru adlanır.

Matrisin rütbəsi A matrisinin sıfırdan fərqli r kiçiklərinin maksimum sırasıdır və sıfırdan fərqli olan hər hansı kiçik r sırası əsas minordur. Təyinat: zəng A = r. Rang A = rang B və A və B matrislərinin ölçüləri eynidirsə, A və B matrisləri ekvivalent adlanır. Təyinat: A ~ B.

Matrisin rütbəsini hesablamaq üçün əsas üsullar yetkinlik yaşına çatmayanların sərhədlənməsi üsulu və üsuludur.

Kiçik sərhəd üsulu

Yetkinlik yaşına çatmayanların sərhədi metodunun mahiyyəti belədir. Artıq matrisdə sıfırdan fərqli k dərəcəli minor tapılsın. Sonra biz aşağıda yalnız sıfırdan fərqli k-ci dərəcəli minoru (yəni haşiyəni) ehtiva edən k+1 dərəcəli kiçikləri nəzərdən keçiririk. Əgər onların hamısı sıfıra bərabərdirsə, onda matrisin rütbəsi k-yə bərabərdir, əks halda (k+1)-ci sıranın həmsərhəd kiçikləri arasında sıfırdan fərqli bir var və bütün prosedur təkrarlanır.

Matrisin sətirlərinin (sütunlarının) xətti müstəqilliyi

Matris dərəcəsi anlayışı onun sətirlərinin (sütunlarının) xətti müstəqilliyi anlayışı ilə sıx bağlıdır.

Matris sıraları:

bərabərliyin doğru olduğu λ 1, λ 2, λ k ədədləri varsa xətti asılı adlanır:

Yuxarıdakı bərabərlik yalnız bütün ədədlər λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0 olduqda mümkün olarsa, A matrisinin cərgələri xətti müstəqil adlanır.

A matrisinin sütunlarının xətti asılılığı və müstəqilliyi də oxşar şəkildə müəyyən edilir.

Əgər A matrisinin hər hansı (a l) cərgəsi (burada (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) aşağıdakı kimi təqdim edilə bilərsə

Sütunların xətti birləşməsi anlayışı oxşar şəkildə müəyyən edilir. Əsas minor haqqında aşağıdakı teorem etibarlıdır.

Əsas sətirlər və əsas sütunlar xətti müstəqildir. A matrisinin istənilən sətri (və ya sütunu) əsas sətirlərin (sütunların), yəni əsas minorla kəsişən sətirlərin (sütunların) xətti birləşməsidir. Beləliklə, A matrisinin dərəcəsi: rang A = k A matrisinin xətti müstəqil sətirlərinin (sütunlarının) maksimum sayına bərabərdir.

Bunlar. Matrisin rütbəsi matrisdəki ən böyük kvadrat matrisin ölçüsüdür, bunun üçün dərəcəsi müəyyən edilməlidir, bunun üçün müəyyənedici sıfıra bərabər deyil. Əgər ilkin matris kvadrat deyilsə və ya kvadratdırsa, lakin onun təyinedicisi sıfırdırsa, daha aşağı tərtibli kvadrat matrislər üçün sətirlər və sütunlar ixtiyari olaraq seçilir.

Determinantlara əlavə olaraq, matrisin dərəcəsi matrisin xətti müstəqil sətir və ya sütunlarının sayı ilə hesablana bilər. Hansının kiçik olmasından asılı olaraq, xətti müstəqil sətir və ya sütunların sayına bərabərdir. Məsələn, matrisin 3 xətti müstəqil cərgəsi və 5 xətti müstəqil sütunu varsa, onun dərəcəsi üçdür.

Matrisin rütbəsinin tapılması nümunələri

Yetkinlik yaşına çatmayanların haşiyələnməsi metodundan istifadə edərək, matrisin dərəcəsini tapın

Həll yolu: İkinci dərəcəli kiçik

sərhəddəki kiçik M 2 də sıfırdan fərqlidir. Bununla belə, hər iki azyaşlı dördüncü dərəcəlidir, M 3 ilə həmsərhəddir.

sıfıra bərabərdir. Buna görə də, A matrisinin dərəcəsi 3-dür və əsas minor, məsələn, yuxarıda təqdim olunan minor M 3-dür.

Elementar çevrilmələr üsulu matrisin elementar çevrilmələrinin onun dərəcəsini dəyişməməsinə əsaslanır. Bu çevrilmələrdən istifadə edərək, matrisi elə bir formaya gətirə bilərsiniz ki, onun 11, a 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)) istisna olmaqla, bütün elementləri sıfıra bərabərdir. Bu, açıq-aydın o deməkdir ki, dərəcə A = r. Qeyd edək ki, əgər n-ci dərəcəli matrisin yuxarı forması varsa üçbucaqlı matris, yəni əsas diaqonalın altındakı bütün elementlərin sıfıra bərabər olduğu bir matris, onda onun tərifi əsas diaqonalda yerləşən elementlərin məhsuluna bərabərdir. Bu xassə elementar çevrilmə metodundan istifadə edərək matrisin dərəcəsini hesablayarkən istifadə edilə bilər: matrisi üçbucaqlıya endirmək üçün onlardan istifadə etmək lazımdır və sonra müvafiq determinantı seçməklə matrisin dərəcəsinin əsas diaqonalın sıfırdan fərqli elementlərinin sayına bərabərdir.

Elementar çevrilmə metodundan istifadə edərək matrisin rütbəsini tapın

Həll edək i-ci xəttα i simvolu ilə A matrisi. Birinci mərhələdə elementar transformasiyaları həyata keçirəcəyik

İkinci mərhələdə transformasiyaları həyata keçiririk

Nəticədə alırıq

A matrisinin hər bir sırası e i = (a i 1 a i 2 …, a in) ilə işarələnir (məsələn,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n) və s.). Onların hər biri nömrə ilə vurula bilən və ya başqa bir cərgəyə əlavə edilə bilən bir sıra matrisidir ümumi qaydalar matrislərlə əməliyyatlar.

Xətti birləşmə e l , e 2 ,...e k xətləri bu sətirlərin hasillərinin ixtiyari həqiqi ədədlərlə cəmi adlanır:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k, burada l l, l 2,..., l k ixtiyari ədədlərdir (xətti birləşmənin əmsalları).

matrisin sıraları e l , e 2 ,...e m adlanır xətti asılıdır, eyni zamanda sıfıra bərabər olmayan l l , l 2 ,..., l m ədədləri varsa, matrisin sətirlərinin xətti kombinasiyası sıfır cərgəyə bərabər olsun:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, burada 0 = (0 0...0).

Bir matrisin cərgələri arasında xətti əlaqə o deməkdir ki, matrisin ən azı bir cərgəsi digərlərinin xətti birləşməsidir. Həqiqətən də, müəyyənlik üçün son əmsal l m ¹ 0 olsun. Sonra bərabərliyin hər iki tərəfini l m-ə bölərək, qalan sətirlərin xətti kombinasiyası kimi sonuncu sətir üçün ifadə alırıq:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .

Əgər satırların xətti birləşməsi sıfıra bərabərdirsə və yalnız bütün əmsallar sıfıra bərabər olduqda, yəni. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, onda xətlər adlanır. xətti müstəqil.

Matris dərəcə teoremi. Matrisin dərəcəsi onun bütün digər sətir və ya sütunlarının xətti olaraq ifadə oluna biləcəyi xətti müstəqil sətir və ya sütunların maksimum sayına bərabərdir.

Gəlin bu teoremi sübut edək. m x n ölçülü A matrisi r (r(A) £ min (m; n)) dərəcəsinə malik olsun. Nəticə etibarilə, r-ci sıranın sıfırdan fərqli minoru mövcuddur. Hər belə azyaşlıya zəng edəcəyik əsas. Aydın olmaq üçün azyaşlı olsun

Bu azyaşlının sətirləri də çağırılacaq əsas.

Sübut edək ki, onda e l , e 2 ,...e r matrisinin sətirləri xətti müstəqildir. Bunun əksini fərz edək, yəni. bu sətirlərdən biri, məsələn, r-ci, digərlərinin xətti kombinasiyasıdır: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Onda ondan çıxsaq, elementlər r-th sətirlər l l ilə vurulan 1-ci cərgənin elementləri, 2-ci cərgənin elementləri l 2 ilə vurulan elementlər və s., nəhayət, (r-1)-ci sıranın elementləri l r-1 ilə vurulur, sonra r-ci xətt sıfır olacaq. Bu zaman determinantın xassələrinə görə yuxarıda göstərilən determinant dəyişməməli və eyni zamanda sıfıra bərabər olmalıdır. Bir ziddiyyət əldə edilir və cərgələrin xətti müstəqilliyi sübut edilir.

İndi matrisin istənilən (r+1) sətirlərinin xətti asılı olduğunu sübut edirik, yəni. hər hansı bir sətir əsaslar baxımından ifadə edilə bilər.

Əvvəllər hesab edilən minoru daha bir sıra (i-ci) və daha bir sütunla (j-ci) tamamlayaq. Nəticədə, dərəcənin tərifinə görə sıfıra bərabər olan (r+1) sırasının minorunu alırıq.

Baxış