Puankare klassik hala gələn dinamik sistemləri təhlil etmək üçün bir üsul təklif etdi.
Bu üsul n-ci sıra axını sistemini Puankare xəritəsi adlanan diskret vaxt (n-1)-ci sıra xəritəsi ilə əvəz etməyə imkan verir.

Puankare xəritəsinin tərifi onun limit dəstlərinin müəyyən edilmiş axın sisteminin limit dəstlərinə uyğun olmasını təmin edir. Puankare xəritələrinin faydalılığı sistem sırasının azaldılmasında və davamlı və diskret zaman sistemləri arasında körpü rolunu oynamasındadır.
Təriflər
Puankare xəritəsinin tərifi muxtar və avtonom olmayan sistemlər üçün fərqlidir. Bu halların hər ikisini ayrıca nəzərdən keçirək.
Puankare xəritəsi yox avtonom sistemlər
Yada salaq ki, minimum T dövrü olan n-ci dərəcəli zaman-periodik qeyri-muxtar sistem transformasiyadan istifadə edərək silindrik faza fəzasında (n+1) sıralı avtonom sistemə çevrilə bilər.

n ölçülü hipermüstəvini nəzərdən keçirək

kimi müəyyən edilir

Hər T saniyədə sistemin trayektoriyası siqma hiperplanını kəsir (bax. Şəkil 1)

Fig.1 Qeyri-muxtar 1-ci dərəcəli sistem üçün Puankare xəritəsi.

Nəticə nümayişi

kimi müəyyən edilir:

P N muxtar olmayan sistemin Puankare xəritəsi adlanır.
N indeksi avtonom olmayan sistemi göstərir və bu xəritələşdirməni muxtar sistemlərdə istifadə olunan Puankare xəritələrindən fərqləndirməyə xidmət edir. Qeyd edək ki, sabit t üçün φ t diffeomorfizmdir və buna görə də P n iki şəkildə təmsil oluna bilər:
1. P N T saniyədən sonra x-in hansı dəyəri alacağını göstərir.
Buna T zaman dəyişikliyi xəritəsi deyilir.

2. Orbit

T saniyə intervalı ilə tək trayektoriyanı simulyasiya edir, yəni.

Bu, T dövrü ilə trayektoriya nöqtələrinin stroboskopik işıqlandırılmasına bənzəyir.
Avtonom sistemlər üçün Puankare xəritəsi
Şəkil 2-də göstərilən G hədd dövrü ilə n-ci dərəcəli avtonom sistemi nəzərdən keçirək.

Fig.2 3-cü dərəcəli avtonom sistem üçün Puankare xəritəsi.

Qoy x * həddi dövrədə nöqtə olsun və “siqma” x * nöqtəsində Γ-ə eninə n ölçülü hipertəsvir olsun. X * nöqtəsindən çıxan trayektoriya, T saniyədən sonra yenidən siqma hiperplanında x * nöqtəsinə çatacaq (T limit dövrünün minimum dövrüdür). İlkin şərtlərə uyğun olaraq φ t axınının davamlılığına görə x * nöqtəsinin kifayət qədər kiçik yaxınlığında “siqma” ilə başlayan trayektoriyalar təqribən T saniyədən sonra x * nöqtəsinin yaxınlığında “siqma” ilə kəsişir.
Nəticə etibarilə, φ t və “siqma” x * nöqtəsinin müəyyən U məhəlləsində P A-nın x * nöqtəsinin digər U məhəlləsinə çəkilməsini müəyyən edir.
P A muxtar sistemin Puankare xəritəsidir.

Qeydlər:
1. P A lokal olaraq, yəni x * qonşuluğunda müəyyən edilir. Qeyri-muxtar vəziyyətdən fərqli olaraq, "sigma" nöqtəsindən ayrılan trayektoriyanın yenidən "sigma" nı keçəcəyinə zəmanət yoxdur.

2. Evklid faza məkanı üçün P A (x) nöqtəsi φ t axınının "siqma"nı kəsdiyi ilk nöqtə deyil; φ t (x) U-a qayıtmazdan əvvəl ən azı bir dəfə daha “siqma”dan keçməlidir. Bu həm də Şəkil 1-də silindrik faza fəzasından fərqdir.

3. P A diffeomorfizmdir və buna görə də inversilə və diferensiallaşır.

İndicə verilmiş Puankare xəritəsinin tərifi dinamik sistemlər nəzəriyyəsindən götürülmüş standart tərifdir, lakin o, həddi dövrünün mövqeyi haqqında əvvəlcədən məlumatı nəzərdə tutduğu üçün ədədi modelləşdirmədə nadir hallarda istifadə olunur.
Təcrübədə R N-ni iki bölgəyə bölən (n-1) ölçülü siqma hiperplanı seçilir:

Burada h "siqma"ya normal vektor, x isə hipertəpə üzərində uzanan bəzi nöqtədir və

Skalyar məhsul. Əgər “siqma” düzgün seçilibsə, onda müşahidə olunan trayektoriya şək 3-də göstərildiyi kimi “sigma-dan” “sigma+”ya keçərək dəfələrlə “siqma”ya keçəcək, sonra isə geriyə və s.

Fig.3 Siqmanın kəsici müstəvisini kəsən tipik trayektoriya. Ardıcıllıq (x 1 , x 3 , x 5 , ...) birtərəfli Puankare xəritəsinin P + orbitidir və (x 2 , x 4 , ...) isə P - orbitidir. Tam ardıcıllıq (x 1 , x 2 , ...) ikitərəfli Puankare xəritəsinin P +- orbitidir.

Verilmiş siqma hiperplanı üçün üç fərqli Puankare xəritəsi müəyyən edilə bilər:

P + : P + (x) φ t (x) ilk dəfə müsbət istiqamətdə “siqmanı” kəsdiyi nöqtədir, yəni.

P - : P - (x) φ t (x) ilk dəfə mənfi istiqamətdə “siqmanı” kəsdiyi nöqtədir, yəni.

P +- : P +- (x) φ t (x) t>0 üçün istənilən istiqamətdə "siqma" ilə kəsişdiyi ilk nöqtədir.
P+ və P- birtərəfli Puankare xəritələri, P+- isə ikitərəfli Puankare xəritəsi adlanır. Qeyd edək ki, traektoriyanın hipertəpəyə toxunduğu nöqtə, yəni. x üçün "sigma"

Üç xəritələmənin hər birinin meyarlarına cavab verir.

Bu xəritələrin hər hansı biri üçün onun yaxşı müəyyən edilməsinə zəmanət yoxdur, çünki φ t(x) t>0 üçün heç vaxt "siqmanı" keçə bilməz. Tarazlıq vəziyyətinə meyl etməyən Evklid faza fəzasına malik bir sistem üçün hər üç xəritənin yaxşı təyin olunduğu hipermüstəvini seçmək olar. Bu ifadə qeyri-Evklid faza fəzasına malik sistem üçün doğru deyil.

Nümunə olaraq, avtonom olmayan sistemin Puankare xəritəsini nəzərdən keçirək. Trayektoriya həmişə siqmanı eyni istiqamətdə keçdiyi üçün birtərəfli Puankare xəritələrindən biri müəyyən edilməmişdir; P + və ya P olması - h normal vektorunun seçimindən asılıdır.

Xəritəçəkmələrdən biri yaxşı müəyyən edilibsə, davamlılıq və buna görə də diferensiallıq hələ təmin edilmir; lakin, əgər f x-də və P(x-də) "siqmaya" eninədirsə, onda xəritə lokal olaraq diferensiallaşdırıla bilər.

Xəritəçəkmə P A aşağıdakı kimi yuxarıda müəyyən edilmiş üç xəritə ilə bağlıdır.
Evklid faza fəzasında sabit x nöqtəsini tərk edən trayektoriya x*-a qayıtmazdan əvvəl "siqmanı" bir dəfədən çox keçə bilər.
X*-a son qayıdış daxil olmaqla, k kəsişmə olsun və bütün kəsişmələrin eninə olduğunu fərz edək.
Onda P A xəritəyə P + tətbiq edilən k dəfə ekvivalentdir, yəni P A (x)=P +- k (x).
Qeyd edək ki, Evklid fəzasında k həmişə bərabər olacaq və buna görə də P A P + və ya P - -nin k/2 tətbiqinə ekvivalent olacaq; P + və ya P - tətbiq olunması f(x *)-nin "sigma+" və ya "sigma-"ya yönəldilməsindən asılıdır.
Puancaré xəritələrinin dəstlərini məhdudlaşdırın
Puankare xəritələrinin limit dəstləri ilə orijinal axınların limit dəstləri arasındakı əlaqəni nəzərdən keçirək. Xüsusi qeyd olunan hallar istisna olmaqla, müzakirə Evklid faza fəzasında sistemlərin sabit limit dəstlərinə aid olacaq.
Balans nöqtələri
Puankare xəritəsinin tarazlıq nöqtəsinə uyğun limit dəsti yoxdur.
Dövri həllər
Biz muxtar və muxtar olmayan halları ayrıca müzakirə edəcəyik, lakin əvvəlcə iki tərif veririk.
x * - bəli sabit nöqtə Xəritəçəkmə P əgər x * =P(x *).
Çoxluq (x * 1,...,x * K) xəritəçəkmənin P K dövrünün qapalı orbitidir, əgər x * k+1 = P k, burada k=1,...,K-1 və x * 1 = P*K.
Avtonom olmayan sistemlər
Davamlı zaman sisteminin bir həlli dövrü P N Puankare xəritəsinin sabit x * nöqtəsinə uyğundur. K-ci dərəcəli subharmonik, Puankare xəritəsinin K(x * 1,...,x * k) dövrünün qapalı orbitinə uyğundur.
Qeyd: Puankare xəritəsi məhlulun hərəkətverici qüvvənin müddəti ilə mütənasib dövrə malik istənilən dövri komponentini “dondurur”. Bu hərəkət görüntü nöqtəsinin stroboskopik işıqlandırılmasına bənzəyir.
Avtonom sistemlər
P A: axının limit dövrü φ t xəritənin sabit x * nöqtəsinə uyğundur P A .

Xəritəçəkmənin P A dövrünün K dövrünün qapalı orbiti ilkin axının subharmonik həllini göstərir. Xatırladaq ki, avtonom sistemlərdə "subharmonik həll" terminindən istifadə edərkən diqqətli olmaq lazımdır. Xüsusilə, G dövrünün minimum müddəti T olarsa, K-ci dərəcəli subharmoniklərin minimum dövrü yaxın olacaq, lakin adətən KT-yə bərabər olmayacaq, çünki qeyri-muxtar sistemlər üçün Puankare xəritəsindən fərqli olaraq, P A-dır. zaman şəraitindən deyil, kəsişmə şəraitindən müəyyən edilir. Beləliklə, x*-da qayıtma vaxtı T-dir, lakin x* yaxınlığındakı nöqtənin qayıtma vaxtı yaxındır, lakin adətən T-yə bərabər deyil.

P + , P - və P +- : Bu xəritələr üçün həddi dövrlərin təsnifatı unikal deyil, çünki Puankare xəritəsinin limit dəsti sekant siqma hiperplanının mövqeyindən asılıdır. Xüsusilə, ilkin axının verilmiş limit dövrü üçün müxtəlif “siqma” seçimləri müxtəlif sifarişli qapalı orbitlərin yaranmasına səbəb ola bilər (şək. 4).

Şəkil.4 Birtərəfli və ikitərəfli Puankare xəritələrinin limit dəstləri siqma kəsici müstəvinin seçimindən asılıdır.

Edilə bilən ən ümumi ifadə budur ki, bu Puancaré xəritələrindən birinin qapalı orbiti orijinal axının limit dövrünə uyğundur.
Evklid faza fəzasında limit dövrü hər kəsişmədə "siqmanı" eninə kəsirsə, onda P+ xəritələşdirilməsinin müvafiq qapalı orbitinin sırası P xəritəçəkmənin müvafiq qapalı orbitinin sırasına bərabərdir - və yarısına bərabərdir. Xəritəçəkmənin müvafiq qapalı orbitinin sırası P + - .
Siqmanın hipersəthinin demək olar ki, hər hansı bir pozulması transversal olmayan kəsişmələrin (tangenslərin) yox olmasına gətirib çıxarır. Ümumiləşdirmək üçün deyə bilərik ki, xəritəçəkmənin bütün qapalı orbitləri P + - bərabər nizama malikdir.

Ehtiyatlı olsanız, subharmonikliyi təyin etmək üçün bu xəritələrdən istifadə edə bilərsiniz. Gəlin m dövrünün qapalı orbitini (eninə kəsişmələri ilə) nəzərdən keçirək ki, bu dövr T dövrü ilə Γ həddi dövrünə uyğun gəlir. Əgər yaxınlıqda mk dövrünün qapalı orbiti varsa, o zaman Γ ilə bağlı K-ci sıranın subharmonikini təmsil edir. , və ona uyğun gələn ilkin limit dövrünün müddəti kT-ə bərabərdir.
Açar söz burada "yaxın" sözü istifadə olunur, çünki iki orbit bir-birinə yaxın olmasa, onlar tamamilə əlaqəsiz limit dövrləri ilə yaradıla bilər.

Eksperimentatorda dövri həyəcana bənzər sistemin təbii saatı olmadıqda, Puankare xəritəsini əldə etmək üçün daha mürəkkəb üsullardan istifadə edilməlidir (həmçinin bax).

Hərəkət koordinatları (x,y,z) olan üçölçülü fəzada trayektoriya ilə təmsil olunsun. Puankare xəritəsini qurmaq üçün trayektoriyanı tənliyi formada olan bir müstəvi ilə kəsirik.

Şəkildə göstərildiyi kimi. 4.11. Puankare xəritəsi bu müstəvidə trayektoriyanın müəyyən tərəfdən keçdiyi nöqtələrdən ibarətdir (yəni təyyarənin ön və arxa tərəflərini müəyyən etsək (4.6.3), onda biz yalnız həmin müstəvi nöqtələrini düzəltmək lazımdır. üzlərdən qarşı tərəfə keçdiyi trayektoriya və ya əksinə, lakin hər iki istiqamətdə deyil).

Təcrübədə bu, mexaniki və ya elektron səviyyə göstəricisindən istifadə etməklə edilə bilər. Mövqe ilə qurulan Puankare xəritələrinin nümunələri aşağıda müzakirə olunur.

Şəkildə göstərilən toqquşma osilatoru vəziyyətində. 4.12-də onun vəziyyətini təsvir edən üç əlverişli dəyişən var: koordinat x, sürət v və həyəcanverici siqnalın mərhələsi. Ölçmələr kütlənin elastik məhdudlaşdırıcı ilə toqquşduğu vəziyyətdə aparılırsa, Puankare xəritəsi toqquşmadan əvvəl və ya sonrakı sürətdir və toqquşma vaxtının anıdır.

düyü. 4.11. Puankare bölməsi ümumi mövqeüçüncü dərəcəli dinamik sistemin hərəkəti üçün.

düyü. 4.12. Poincaré axınını mövqeyə görə qurmaq üçün eksperimental quruluşun sxematik təsviri.

Bu halda, xəritəçəkmə nöqtələri ilə silindrik məkanda təsvir edilə bilər.

Şəkildə. Şəkil 4.12-də Puankare xəritəsini əldə etmək üçün eksperimental quraşdırma nümunəsi göstərilir. Kütlə hərəkət dayanacağına dəydikdə, yük hüceyrəsi və ya akselerometr kəskin siqnal verir. Bu siqnal, bədənin sürət dəyərini saxlayan məlumat saxlama cihazını (məsələn, yaddaş və ya rəqəmsal osiloskop) yandırmaq üçün istifadə edilə bilər. (Şəkil 4.12-də göstərilən vəziyyətdə mövqeyi ölçmək üçün xətti diferensial transformator istifadə olunur və onun siqnalı diferensiallaşdırılır. elektron cihaz sürət əldə etmək üçün.)

düyü. 4.13. Elastik hərəkət məhdudlaşdırıcıları olan salınan kütlənin mövqeyindən qurulmuş Puankare xəritəsi (bax. Şəkil 4.12).

0 arasında dəyişən fazanı müəyyən etmək üçün həyəcan siqnalı ilə fazada dövri mişar dişi siqnalı yaratdıq, minimum sıfır dəyərinə uyğun və maksimum gərginlik . Toqquşma nəticəsində yaranan kəskin gərginlik impulsu, mişar dişi gərginliyinin dəyərini, həmçinin zərbədən əvvəl və ya sonra sürətin böyüklüyünü qeyd edən yaddaş cihazını işə salmaq üçün istifadə olunur. Texnikadan istifadə etməklə əldə edilmiş iki elastik divardan sıçrayan kütlə üçün Puankare xəritəsi Şəkil 1-də göstərilmişdir. 4.13.

Xaotik mühərrik vibrasiyalarının Puankare xəritəsini qurmaq üçün eyni tipli quraşdırmanın başqa bir nümunəsi Şəkil 1-də göstərilmişdir. 4.14.

düyü. 4.14. Dönmə momenti və fırlanma bucağı arasında qeyri-xətti əlaqə ilə dövri olaraq həyəcanlanan rotor üçün mövqeyə görə Puankare xəritələrinin alınması üçün eksperimental quraşdırma sxemi.

Bu misalda, mühərrik stator qütblərindən birində birbaşa cərəyan tərəfindən yaradılan qeyri-xətti fırlanma anı-bucaq əlaqəsi ilə xarakterizə olunur, daimi maqnit rotoru isə alternativ cərəyanın yaratdığı sinusoidal fırlanma anı səbəbiylə fırlanır. bitişik bobin. Bu cihaz tənliklə təsvir edilmişdir

Puankare xəritəsini əldə etmək üçün biz üçölçülü fəzada hansı müstəvi seçdik (şək. 4.14). Bu, eksperimental olaraq rotorun oxuna quraşdırılmış nazik diskdəki yarıqdan və rotorun təyyarəni hər dəfə keçdiyi zaman gərginlik impulsunu yaradan detektorlu LED-dən istifadə etməklə həyata keçirilir (bax. Şəkil 4.14). Bu impuls daha sonra sürəti və vaxtı qeyd etmək üçün istifadə olunur. Nəticədə alınan məlumatlar birbaşa saxlama osiloskopuna çıxarıla bilər və ya Şəkil 1-də göstərildiyi kimi kompüterdən istifadə edərək qütb koordinatlarına çevrilə bilər. 4.15.

düyü. 4. 15. Qeyri-xətti rotatorun xaotik rejimi üçün mövqeyə görə qurulmuş Puankare xəritəsi (bax. Şəkil 4.14).

sistemin (faza əyriləri).

Daha ətraflı, Puancaré xəritəsi aşağıdakı kimi müəyyən edilir. Faza fəzasında səthin müəyyən bir sahəsini nəzərdən keçirək ( Puankare bölməsi), sistemin vektor sahəsinə eninə (yəni sahəyə toxunmamaq; tez-tez sadəcə olaraq deyilir eninə). Transversal bir nöqtədən sistemin trayektoriyasını buraxırıq. Tutaq ki, hansısa nöqtədə trayektoriya ilk dəfə yenidən eninəni kəsir; Kəsişmə nöqtəsini ilə işarə edək. Puankare xəritəsi bir nöqtəni ilk qayıdış nöqtəsi ilə əlaqələndirir. Buraxılan trayektoriya heç vaxt eninə qayıtmazsa, o zaman Puankare xəritəsi müəyyən edilməmişdir.

Eynilə, Puankare xəritəsini (varislik xəritəsi) təkcə transversaldan özünə deyil, həm də bir eninədən digərinə təyin etmək olar.

Puankare xəritəsinin müəyyən eninədən özünə doğru təkrarlanması daha aşağı ölçülü faza məkanında diskret vaxta malik dinamik sistem təşkil edir. Bu sistemin xassələri orijinal fasiləsiz zaman sisteminin xüsusiyyətləri ilə sıx əlaqədədir (məsələn, Puankare xəritəsinin sabit və dövri nöqtələri sistemin qapalı trayektoriyalarına uyğundur). Beləliklə, bir tərəfdən vektor sahələri və onların axınları, digər tərəfdən isə xəritələrin təkrarlanması arasında əlaqə qurulur. Puankare xəritəsi fasiləsiz zamana malik dinamik sistemləri öyrənmək üçün mühüm vasitədir.

həmçinin bax

Yansıtıcı funksiya

Bağlantılar

• A. B. Katok, B. Hasselblatt Son nailiyyətlərin nəzərdən keçirilməsi ilə dinamik sistemlərin müasir nəzəriyyəsinə giriş / trans. ingilis dilindən tərəfindən redaktə edilmiş A. S. Qorodetski. - M.: MTsNMO, 2005. - 464 s. - ISBN 5-94057-063-1

Wikimedia Fondu. 2010.

Digər lüğətlərdə “Puankare xəritəsi”nin nə olduğuna baxın:

Henri Puancaré Henri Puincaré Doğum tarixi: 29 aprel 1854 (1854 04 29) Doğulduğu yer: Nensi ... Wikipedia

Geri qayıtmaq üçün əsas şeylərdən biri. invariant ölçü ilə dinamik sistemin davranışını xarakterizə edən teoremlər. Belə bir sistemə misal olaraq Hamilton sistemini göstərmək olar ki, onun təkamülü Hamiltonun kanonik tənliklərin həlli ilə təsvir olunur. koordinatları və ...... Fiziki ensiklopediya

Qoy K müstəvidə r=a və r=b radiuslu çevrələrlə hüdudlanmış və onun öz içindəki xəritəsi (q q qütb bucağıdır) aşağıdakı şərtləri ödəməklə verilmiş halqa olsun: 1) xəritəçəkmə sahəni qoruyur, 2) hər bir sərhəd dairəsi öz içinə keçir, 3) nöqtələr ... Riyaziyyat ensiklopediyası

1) formal ölçü və topoloji fəzanın P. p. Burada elə element verilir ki, formanın homomorfizmi istənilən k üçün izomorfizmdir (burada Uitninin vurma, kəsmə əməliyyatı). Eyni zamanda çağırdı izomorfizm... Riyaziyyat ensiklopediyası

Diferensial tənliklərin keyfiyyət nəzəriyyəsi və dinamik nəzəriyyə bölməsi. 1-ci dərəcəli iki diferensial tənliyin avtonom sistemlərinin trayektoriyalarının həddi (at) davranışına aid sistemlər: (*) (mövcudluğunu təmin edən şərtlər və... ... Riyaziyyat ensiklopediyası

Hamar və ya ən azı davamlı axın (St) və ona eninə V hipersəthi üçün xəritəçəkmə T nöqtəsi ilə v-dən çıxan axının müsbət yarımtrayektoriyasının V ilə kəsişməsinin ilk zaman nöqtəsi ilə əlaqələndirilir (və üçün müəyyən edilir). o v,...... Riyaziyyat ensiklopediyası

Puankarenin son teoremi Henri Puankarenin ölümündən az əvvəl (1912) dərc etdiyi həndəsi ifadədir (sübutsuz). Tam sübut altı ay sonra George David Birkhoff tərəfindən verildi. Mündəricat 1 Formulyasiya 2 Variasiya ... Vikipediya

Konformal çevrilmə (riyazi), birinci fiqurun daxili nöqtəsində müəyyən bucaq altında kəsişən hər hansı iki əyrinin ikinci fiqurun əyrilərinə çevrildiyi bir fiqurun (bölgənin) digərinə xəritələşdirilməsi, ... ... Böyük Sovet Ensiklopediyası

D sahəsinin D domeninə (Evklid fəzası və ya Riman manifoldu) tək-tək çəkilişi, əgər hər hansı D nöqtəsinin qonşuluğunda bu çevrilmənin diferensialı... .. olarsa, konformal (latınca conformis oxşar) adlanır. Vikipediya

Bu terminin başqa mənaları da var, bax Puankare teoreminə. Dinamik sistemlər nəzəriyyəsində dairənin homeomorfizmlərinin təsnifatına dair Puankare teoremi saydan asılı olaraq çevrədə geri dönən dinamikanın mümkün növlərini təsvir edir... ... Wikipedia

Dinamikası bəzi diferensial tənliklərlə təsvir olunan fasiləsiz zaman sistemini nəzərdən keçirək. Müəyyənlik üçün bu, üçölçülü faza məkanı olan muxtar sistem olsun. Faza fəzasında ikiölçülü S sahəsini təyin edək və onun üzərində müəyyən koordinat sistemini (X,Y) təyin edək. Sekant səthinin seçimi olduqca ixtiyaridir, lakin o, elə yerləşdirilməlidir ki, bizi maraqlandıran faza trayektoriyaları onunla dəfələrlə kəsişsin və əlaqə istisna edilsin. Bir məqamı götürək (X, Y) sekant səthində biz ondan bir faza trayektoriyasını buraxırıq və bu trayektoriyanı S platformamızla növbəti kəsişməsi eyni istiqamətdə keçidlə müəyyən bir nöqtədə (X, Y") baş verənə qədər davam edirik. Başlanğıc nöqtəsini dəyişdirsəniz, fərqli bir şəkil nöqtəsi alırsınız. Nəticədə, sekant səthinin özünəməxsus bir xəritəsi yaranır:

Bu budur ardıcıllığın göstərilməsi, və ya Puancaré xəritəsi.

İndi biz orijinal diferensial tənliklərdən uzaqlaşa və diqqəti Puankare xəritəsinin yaratdığı dinamikanı təhlil etməyə yönəldə bilərik. Tədqiqat obyektinin bu dəyişdirilməsi heç bir yaxınlaşma ilə müşayiət olunmur, təhlil dəqiq olaraq qalır. Ödənilməli olan qiymət, sekant səthinin ardıcıl kəsişmələri arasındakı vaxt intervallarında dinamikanın təbiəti, xüsusən də bu kəsişmələr arasındakı vaxt intervallarının müddəti və topoloji xüsusiyyətləri haqqında məlumatın itirilməsidir. faza traektoriyaları. Bununla belə, bir çox fundamental sualları, məsələn, sistemdə nizamlı və ya xaotik rejimin qurulmasını təhlil etmək mümkün olaraq qalır.

Diferensial tənliklərin analitik həlli qəbul etdiyi istisna hallarda, xüsusi qeyri-xətti sistemlər üçün Puankare xəritəsini aşkar formada tapmaq çox nadir hallarda mümkündür. Bununla belə, Puankare xəritəsini ədədi alqoritm kimi qurmaq mümkündür.

Fərz edək ki, dinamik sistem diferensial tənliklərlə təsvir olunur

kəsici səth isə tənliklə verilir

Daha sonra fərz edək ki, bizdə (6.2) tənliklər sisteminin kompüter proqramı şəklində, məsələn, Runge-Kutta metodundan istifadə etməklə həlli proseduru var. İlkin şərt kimi kəsici səthdə müəyyən nöqtə qoyaq və S(x, y, z) funksiyasının işarəsini izləyərək fərq metodundan istifadə edərək addım-addım həllini quraq. Trayektoriyanın sekant səthi ilə kəsişdiyi an S işarəsinin dəyişməsi anıdır. Bunun fərq metodunun hansı nömrəli addımları arasında baş verəcəyini asanlıqla müəyyən edə bilərik. Tutaq ki, bu, arasında baş verib n-m və ( n+ 1)-ci addımlar, belə ki S n =S(x(nΔt), y(nΔt), z(nΔt)) Və S n+1 =S(x((n+1)Δt), y((n+1)Δt), z((n+1)Δt))əks işarəyə malikdir. Gəlin dayanaq və indi kəsişmə anını necə aydınlaşdıra biləcəyimizi soruşaq. Əslində ehtiyacımız olan, hətta dəqiq cavab deyil (hər halda, fərq sxemi ilə diferensial tənlikləri yaxınlaşdırdıq), lakin istifadə olunan təxmini dəqiqliklə uyğun gələn nəticədir. Bu problemi həll etməyin zərif bir yolu Mişel Hainault tərəfindən göstərilmişdir və aşağıdakı kimidir. (6.3) tənliklər sistemini daha bir əlaqə ilə tamamlayaq, yəni:

İndi S-i müstəqil dəyişən kimi götürərək tənlikləri yenidən yazaq, qeydi təqdim edək

(n + 1) üzərində alınan x, y, z, t və S qiymətlərini götürək ) -ci addım və dəyəri (- S n +1) olan S boyunca bir addım atın (müsbət və ya mənfi ola bilər). Bundan sonra S sıfıra gedəcək və nəticədə alınan x, y, z və t dəqiq tələb olunanı verəcəkdir - dinamik dəyişənlərin dəyərləri və traektoriya S səthi ilə kəsişdiyi anda vaxt.

(6.6) tənliklərinin ədədi həlli kimi dərhal Hinault metodundan istifadə edərək Puankare xəritəsinin qurulması alqoritmini proqramlaşdırmaq rahatdır. Bu halda, H(x, y, z) funksiyası “standart” zaman addımları yerinə yetirildiyi müddətcə 1-ə bərabər təyin edilir və “qeyri-standart” əməliyyatı yerinə yetirmək zərurəti yarandıqda (6.5)-ə uyğun olaraq yenidən müəyyən edilir. S-də ” addımı. Hər ikisində də eyni fərq metodundan istifadə olunduğundan dəqiqlikdə istənilən razılıq əldə edilir. Tənliklərin sayı bir artdığına görə hesablamaların həcmi bir qədər artsa da, bu metodun aşkar üstünlükləri ilə kompensasiya edilir.

Qeyri-xətti dinamika üçün vacib olan dövri əmsallı qeyri-avtonom diferensial tənliklərlə müəyyən edilən sistemlər sinfi ayrıca müzakirə tələb edir. Fiziki nöqteyi-nəzərdən bunlar güclü və ya parametrik olmasından asılı olmayaraq dövri xarici təsirlərə malik sistemlərdir. Belə sistemlər üçün Puankare bölməsinin qurulması proseduru olduqca sadədir.

Dövri hərəkət olmadıqda sistem ikiölçülü faza fəzasına (x, y) malik olsun və , formasının tənlikləri ilə təsvir olunsun. Ümumi vəziyyətdə xarici dövri təsirin olması, f 1 və f 2 funksiyalarının vaxtdan asılı olaraq vaxtaşırı hesab edilməli olması ilə ifadə edilir, yəni.

tənliyi təmin edən yeni z dəyişənini təqdim edək. Aydındır ki, üçölçülü faza məkanı olan muxtar sistem

(6.7) ilə bərabərdir. Puankare xəritəsini qurmaq üçün sekant səth kimi z = const müstəvisini götürmək rahatdır (şək. 6.1b). Kəsmə müstəvisində koordinatlar olaraq, edə bilərsiniz

x və y təbii dinamik dəyişənlərindən istifadə edin. z faza fəzası dövri quruluşa malik olduğundan, biz bir-birindən tam sayda dövrlərlə ayrılan nöqtələri ayırd edə bilmirik T. Başqa sözlə, təmsil edən nöqtə Şəkildə yuxarı müstəvi ilə kəsişdikdə. 6.1b, o, x və y koordinatlarının eyni dəyərlərini saxlayaraq dərhal aşağıya sıçrayır. Siz köməkçi dəyişən z haqqında unuda bilərsiniz, çünki o, t zamanından fərqlənmir və faza fəzasından (x, y, t) danışa bilərsiniz.

Puankare xəritəsi x" =F 1 (x, y), y" = F2(x, y) sadə məna daşıyır - xarici təsirin bir dövrü ərzində dinamik dəyişənlərin dəyişməsini təsvir edir. Buna bəzən akuteboskopik görüntüləmə deyilir. Təsəvvür edin ki, sistemin dinamikası çox vaxt qaranlıqda baş verir və müşahidə üçün əlçatmazdır. Bununla belə, xarici təsir dövründə bir dəfə parlaq işıq qısa bir an üçün yanıb-sönür, beləliklə, flaşların anlarına uyğun gələn vəziyyətlərin diskret ardıcıllığını izləyə bilərik. Avtonom sistemlərdən fərqli olaraq, stroboskopik Puankare xəritəsinin ədədi konstruksiyası heç bir problem yaratmır - sadəcə olaraq, hər zaman inteqrasiya mərhələsini seçməlisiniz ki, təsir müddətində tam sayda addımlar olsun.

Aparılan bütün təhlil açıq şəkildə daha yüksək ölçülü faza məkanı üçün ümumiləşdirilmişdir, yalnız iki ölçülü sahə yerinə bir bölmə haqqında danışmaq lazımdır. N-N-1 ölçülü hipersəthi olan ölçülü faza fəzası. Puankare xəritəsindən istifadə edərkən işləməli olduğunuz dövlət vektorlarının ölçüsünün bir azaldılması bəzən çox faydalıdır. Ümumilikdə Puankare xəritəsi çox məhsuldar nəzəri konstruksiyaya çevrildi. Puankare xəritəsi baxımından mülahizə yürütməklə, həm avtonom, həm də avtonom olmayan diferensial tənliklərlə təsvir edilən sistemlərə və təkrarlanan xəritələrə - diskret vaxta malik dinamik sistemlərə aid olan çox ümumi xarakterli nəticələr əldə etmək olar. Maraqlıdır ki, Puankare xəritəsinin qurulması proseduru artıq nəzəriyyəçilər tərəfindən qorunub saxlanılır və tez-tez qeyri-xətti sistemlərin dinamikasının eksperimental öyrənilməsində vasitələrdən biri kimi istifadə olunur.

İşin məqsədi sistemlərin qeyri-xətti dinamikasının təhlili üçün əlverişli vasitələrdən biri kimi Puankare bölməsini mənimsəməkdir.

Nəzəri təsvir

Sistemlərin xaotik və nizamlı dinamikasının xüsusiyyətlərini onların M dövlət fəzasında faza trayektoriyaları ilə öyrənmək olar. Lakin n=3 ölçüsündən başlayaraq vektor sahəsi kimi trayektoriyaların, atraktorların və bütün faza portretinin vizual təhlili çətindir. Attraktorun M-də koordinat müstəvilərinə proyeksiyaları az kömək edir. Puankare bölməsi təsirli bir vasitə kimi çıxır.

Məlumdur ki, diskret dinamik sistemlər zamanın təcrid olunmuş anlarında dəyərləri təyin etməklə davamlı sistemlərdən əldə edilə bilər. Üstəlik, bu anlar arasındakı fasilələr mütləq eyni deyil. Dinamik sistemlər nəzəriyyəsində fasiləsiz sistemlərdən diskret sistemlərə keçid Puankare bölmələrindən istifadə etməklə həyata keçirilir. Bu halda, trayektoriyanın müəyyən bir səthlə kəsişdiyi nöqtələri faza fəzasında qoyub gedirik. Beləliklə, sistemin ölçüsünü azaltmaq mümkündür, çünki n ölçülü fəzada səth n-1 ölçüsünə malikdir, dinamikanın təhlilini sadələşdirin, çünki fərq tənlikləri sistemlərini öyrənmək diferensial tənliklərə nisbətən daha asandır. Sübut edilmişdir ki, belə keçid zamanı fasiləsiz sistemin bütün əsas xassələri qorunub saxlanılır. Buna görə də diskret xəritələrin təhlili dinamik sistemlərin öyrənilməsində praktiki əhəmiyyət kəsb edir.

Bu üsulu həyata keçirməklə, M-də müəyyən bir S səthini (adətən müstəvi) yerləşdiririk ki, faza traektoriyaları onu sıfırdan fərqli bir açı ilə kəssin. Səthin bir istiqamətdə kəsişən Pi nöqtələrinin çoxluğuna Puankare bölməsi deyilir. Bölmənin həndəsi xüsusiyyətləri cəlbedicinin konfiqurasiyası ilə müəyyən edilir və kəsici təyyarələrin uğurlu seçimi ilə onun bütün topologiyasını "nəzərə almaq" mümkündür. Biz onu təbəqələrə ayırırıq.

Şəkil 4.1. x3=h müstəvisi ilə Puankare bölməsinə nümunə.

Bölmə və Puankare xəritəsi onları yaradan axınla eyni topoloji xüsusiyyətlərə malikdir. Məsələn, əgər axın dissipativdirsə və faza fəzasındakı həcmlər sıxılırsa, o zaman xəritəçəkmə S müstəvisindəki sahələri azaldır. Əgər cəlbedici bir hədd dövrüdürsə, düzgün seçilmiş bölmədə bu qapalı traektoriya (limit dövrü) çox əyri olarsa, vaxtaşırı ziyarət edilən bir nöqtəni və ya bir neçə nöqtəni görəcəyik. S sekantını hərəkət etdirməklə biz bu trayektoriyanı öyrənə bilərik.

Diferensial tənliklərin həllində və faza fəzasında nəzərə alınması asan olmayan torus üzərində kvazperiodik hərəkət Puankare bölməsində qapalı sıx nöqtə zəncirləri kimi görünəcəkdir. Xaotik rejimə uyğun gələn qəribə cəlbedicilər bizə kəsişmədə Cantor nöqtələri dəstini, yəni özünə bənzəyən fraktal quruluşa malik heç yerdə sıx olmayan çoxluğu verəcəkdir. 2 saylı işdə oxşar dəsti gördük - bu, Hainault atraktorudur. Bununla belə, güclü dissipasiya ilə fraktallığı görmək çətindir və cəlbedicinin "qəribəliyini" təsdiqləmək üçün kəsişmənin fraktal və ya korrelyasiya ölçüsünü hesablamaq lazımdır.

Aydındır ki, 4-cü dərəcəli dinamik sistemi öyrənərkən, Puankare bölməsi bizə üçölçülü nöqtələr dəsti verəcək, biz çətin ki, onu vizuallaşdıra bilək və təhlil asan olmayacaq, amma yenə də mümkün olacaq.

Əvvəllər olduğu kimi, biz hesab edirik ki, atraktora daralan faza trayektoriyaları formanın dissipativ avtonom dinamik sistemi tərəfindən əmələ gəlir.

Puankare bölməsinin xronoloji olaraq bitişik nöqtələri arasındakı əlaqə, yəni. S müstəvisinin öz üzərinə davamlı xəritələşdirilməsi

Pi+1=Ф(Pi) , i=1,2,… (4.2)

(x1i, x2i,…,xn-1,i) = xi fərq tənlikləri sistemi ilə müəyyən edilir.

x1,i+1=j1(x1i,x2i,…,xn-1,i)

x2,i+1=j2(x1i,x2i,…,xn-1,i)

xn-1,i+1=jn-1(x1i,x2i,…,xn-1,i)

Sistem (4.2) və onun skalyar forması (4.3) Puankare xəritəsi adlanır. Nəzərə alın ki, bölmədə Pi nöqtələrinin görünməsi arasındakı vaxt intervalları eyni deyil. Bəzən bölmə nöqtələrinin (strobe) görünüşü arasında sabit vaxt intervalını təmin edən xüsusi Poincaré bölmələri istifadə olunur. Bu zaman interval adətən qeyri-muxtar sistemlərdə hansısa xarici təsir dövrünə bərabər olur. Fasiləsiz dinamik sistemlərin bütün fərq yaxınlaşmalarının bəzi Puankare xəritələri olduğunu güman edə bilərik.

Faza məkanında səth tənliyi, sanki, dəyişənlərin əlaqəsi üçün şərtləri təyin edir və biz yalnız bu şərtləri təmin edən trayektoriya nöqtələrini düzəldirik. Xüsusi maraq doğuran hallardan hər hansı birinin ekstremum şərtləri, bəzi texnoloji şərtlər, xüsusi fiziki məna daşıyan balans tənlikləri və s.

Məsələn, (3.3) sistemdə x2 vəziyyətinin ekstremumunun şərti aşağıdakı kimidir

x2 +20x3 –x1 x3 = 0.

ODE proqramından istifadə edərək belə bir kəsici səth yaratmaq üçün biz əlavə z = x1 x3 dəyişənini təqdim edirik və əlavə tənlik yaradırıq.

Puankare bölməsi rejimində bütün dörd tənliyi birlikdə həll etməklə biz lazım olan ekstremum nöqtələri əldə edirik (yalnız maksimum və ya yalnız minimum, ilkin şərtlər). Puankare sekantı x2 +20x3 – z = 0-dır. Şək. Şəkil 4.2-də sistemin cəlbedicisinin müvafiq bölməsinin modelləşdirilməsi üçün ODE panelinin görünüşü göstərilir (3.3).

düyü. 4.2. ODE proqramının idarəetmə paneli.

Qeyri-xətti kəsici səthlər vəziyyətində çətin olan kəsiklərin vizual təhlili ilə yanaşı, ODE proqramı kəsik nöqtələrinin cari koordinatları ilə əvvəlkilər arasında əlaqəni görməyə imkan verir. “n/(n+k)” rejimində siz sonrakı ekstremumun əvvəlkindən asılılığını göstərə bilərsiniz, deyək ki,

Bu asılılığın forması x2(t) dalğalanmalarının xaosunda determinizmi müəyyən etməyə imkan verə bilər. Şəkildə. Şəkil 4.3 belə təhlilin nəticələrini göstərir.

Puankare bölmə metodu üç səbəbə görə davamlı axınların öyrənilməsini asanlaşdırır. Birincisi, biz R3-dəki axından təyyarədəki ekrana keçirik və bununla da koordinatların sayını bir azaldırıq. İkincisi, zaman diskretləşdirilir və diferensial tənliklər Puankare xəritələrinin fərq tənlikləri ilə əvəz olunur (4.3). Nəhayət, üçüncüsü, emal ediləcək məlumatların sayı kəskin şəkildə azalır, çünki traektoriyadakı demək olar ki, bütün nöqtələr laqeyd qala bilər.

Şəkil 4.3. (3.3) sisteminin x2(t) (aşağı) həllinin son nöqtələrinin Puankare xəritəsi (yuxarı).

Laboratoriya işlərinin aparılması qaydası.

ODE proqramını aktivləşdirin.

Puankare bölmə rejimindən istifadə edərək, üçölçülü fəzada (fayl TOR3.ode) torus şəklində atraktor üçün müxtəlif bölmələr tapın (hessian formasında kəsici müstəvinin tənliyini təyin edin).

Bu sistemlərin birinci koordinatının ekstremal nöqtələrinə uyğun gələn Rössler və Lorentz cəlbediciləri üçün bölmələr və Puankare xəritələrini tapın.

Kislov-Dmitriyev atraktorunun topologiyasını öyrənmək üçün onun bir sıra paralel hissələrini aparın. Sistem parametrlərinin attraktorun formasına təsirini yoxlayın. Tənliklər sisteminin həllində Puankare bölməsinin kiçik bir fraqmentini çoxlu sayda nöqtə ilə böyütməklə, atraktorun fraktal strukturunu açmağa çalışın.

Müəllim tərəfindən müəyyən edilmiş sistem üçün 4-cü addımı təkrarlayın.

Nəzarət sualları

ODE proqramından istifadə edərək bölmə və Puankare xəritəsini necə qurmaq olar?

Sistemin həllərindən birinin maksimum və minimum nöqtələrini düzəltmək üçün bölmə və Puankare xəritəsini necə qurmaq olar?

İstədiyiniz bölmə fraqmentini böyütmək üçün ODE proqramından necə istifadə etmək olar?

Bir kəsiyi koordinat müstəvilərinə proyeksiya etmək üçün oxların tələb olunan fırlanması necə həyata keçirilir?

Baxış-icmal