Əvvəllər K(t, O = e) ilə inteqral Furye çevrilməsini hesab edirdik ki, f(t) funksiyasının bütün t oxunda mütləq inteqrallıq şərti yerinə yetirilməlidir transform bizə özümüzü bu məhdudiyyətdən azad etməyə imkan verir Tərif 1. Funksiya Aşağıdakı şərtləri ödəyən t real arqumentinin istənilən mürəkkəb qiymətli f(t) funksiyasını orijinal adlandıracağıq: 1. f(t) bütünlükdə davamlıdır. t oxu, f(t)-in 1-ci növ kəsikliyə malik olduğu ayrı-ayrı nöqtələr istisna olmaqla və oxunun hər sonlu intervalında * yalnız sonlu sayda belə nöqtələr ola bilər 2. f(t) funksiyası; t-nin mənfi qiymətləri üçün sıfıra bərabərdir, 3 üçün f(t) = 0. t artdıqca f(t) modulu eksponensial funksiyadan tez artmır, yəni M > 0 və s ədədləri var ki, bütün t Aydındır ki, əgər (1) bərabərsizliyi bəzi s = aj üçün doğrudursa, o zaman (1) bərabərsizliyin yer aldığı HƏR 82 > 8] üçün də doğru olacaq f funksiyasının artım indeksi (t). Şərh. Ümumi halda, bərabərsizlik yerinə yetirilmir, lakin e > 0-ın hər hansı olduğu təxmin etibarlıdır. Beləliklə, funksiyanın artım göstəricisi 0 = Onun üçün \t\ ^ M V* ^ 0 bərabərsizliyi yerinə yetirilmir, lakin |f| ^ Mei. Şərt (1) şərtdən (*) daha az məhdudlaşdırıcıdır. Nümunə 1. funksiya (") şərtini ödəmir, lakin (1) şərti hər hansı s ^ I və A/ ^ I üçün ödənilir; artım tempi 5o = Beləliklə, bu, orijinal funksiyadır. Digər tərəfdən, funksiya ilkin funksiya deyil: onun sonsuz artım sırası var, “o = +oo. Ən sadə orijinal funksiya vahid funksiya adlanırsa, müəyyən funksiya 1-ci tərifin 1 və 3-cü şərtlərini ödəyirsə, lakin 2-ci şərti təmin etmirsə, onda məhsul artıq orijinal funksiyadır. Qeydin sadəliyi üçün biz, bir qayda olaraq, rj(t) faktorunu buraxacağıq, bu şərtlə ki, nəzərdən keçirəcəyimiz bütün funksiyalar mənfi t üçün sıfıra bərabər olsun, belə ki, əgər söhbət hansısa f(t) funksiyasından gedirsə, məsələn, o sin ty cos t, el və s., onda aşağıdakı funksiyalar həmişə nəzərdə tutulur (şək. 2): n=n(0 Şəkil 1 Tərif 2. İlkin funksiya f(t) olsun. Laplasa görə f(t ) funksiyası mürəkkəb dəyişənin F(p) funksiyası adlanır, LAPLACE TRANSFORM düsturu ilə təyin olunur. Əsas təriflər Xassələr Funksiyaların konvolyusiyaları Vurma teoremi Şəkildən orijinalın tapılması Əməliyyat hesabının inversiya teoremindən istifadə Dühamel düsturu Sabit əmsallı xətti diferensial tənliklərin inteqral sistemləri İnteqralın müsbət yarımox üzərində alındığı inteqral tənliklərin həlli t. F(p) funksiyasına /(/) funksiyasının Laplas çevrilməsi də deyilir; transformasiya nüvəsi K(t) p) = e~pt. Funksiyanın şəkli kimi F(p) olması faktını yazacağıq Nümunə 2. Vahid funksiyanın r)(t) şəklini tapın. Funksiya artım göstəricisi 0 - 0 olan orijinal funksiyadır. (2) düsturuna əsasən, rj(t) funksiyasının təsviri funksiya olacaqsa, onda sonuncu bərabərliyin sağ tərəfindəki inteqral konvergent olacaq. , və biz əldə edəcəyik ki, rj(t) funksiyasının şəkli £ funksiyası olsun. Razılaşdığımız kimi yazacağıq ki, rj(t) = 1 və sonra alınan nəticə aşağıdakı kimi yazılacaq: Teorem 1. Artım indeksi 30 olan istənilən orijinal f(t) funksiyası üçün F(p) təsviri müəyyən edilir. yarımmüstəvidə R e = s > s0 və bu yarımmüstəvidə analitik funksiyadır (şək. 3). Göstərilən yarımmüstəvidə F(p) təsvirinin mövcudluğunu sübut etmək üçün düzgün olmayan inteqralın (2) a > üçün mütləq yaxınlaşdığını müəyyən etmək kifayətdir ki, (3) istifadə edərək, onun mütləq yaxınlaşmasını sübut edən əldə edirik. inteqral (2). Eyni zamanda, F(p) yaxınlaşma müstəvisində formal olaraq inteqral işarəsi altında diferensial ifadəni əldə etdik, (5) inteqralın mövcudluğunu tapdıq. inteqralın (2) varlığı qurulduğu kimi qurulur. F"(p) üçün hissələr üzrə inteqrasiya tətbiq edərək, (5) inteqralının mütləq yaxınlaşmasını nəzərdə tutan qiymətləndirmə əldə edirik. (t +oo-da qeyri-inteqral termini,0.,- sıfıra bərabər həddə malikdir). istənilən yarımmüstəvi Rep ^ sj > "o inteqral (5) p-dən asılı olmayan konvergent inteqralın üstünlük təşkil etdiyi üçün p-yə nisbətdə bərabər birləşir. Buna görə də p-yə münasibətdə diferensiasiya qanunidir və bərabərlik (5) etibarlıdır. F"(p) törəməsi mövcud olduğundan, Laplas çevrilməsi F(p) yarım müstəvidə hər yerdədir. = 5 > 5о analitik funksiyadır. Nəticə bərabərsizlikdən gəlir (4). Əgər p-nin qiyməti sonsuzluğa meyl edirsə ki, Re p = s məhdudiyyətsiz artsın, onda Nümunə 3. İstənilən kompleks ədədin funksiyasının şəklini də tapaq. /(()) funksiyasının göstəricisi a-a bərabərdir 4 Rep = i > a fərz etsək, a = 0 üçün yenidən düsturunu alırıq. p arqumentinin təkcə Rep > a yarımmüstəvisində deyil, həm də bu təsvirin sadə qütblü olduğu p = a nöqtəsindən başqa bütün p nöqtələrində analitik funksiyasıdır təcrid olunmuş tək nöqtələr istisna olmaqla, F(p) şəklinin p kompleks dəyişəninin bütün müstəvisində analitik funksiya olacağı oxşar vəziyyət. Teorem 1 ilə heç bir ziddiyyət yoxdur. Sonuncu yalnız onu bildirir ki, Rep > o yarımmüstəvisində F(p) funksiyasının tək nöqtələri yoxdur: onların hamısı ya Rep = belə xəttinin solunda, ya da bu xəttin özündə yerləşir. Diqqət etmə. Əməliyyat hesablamasında bəzən f(f) funksiyasının Heaviside təsvirindən istifadə olunur ki, bu da bərabərliklə müəyyən edilir və Laplas təmsilindən p faktoru ilə fərqlənir. §2. Laplas çevrilməsinin xassələri Aşağıda biz orijinal funksiyaları və onların Laplas şəkillərini qeyd edəcəyik. £biw dee davamlı funksiyaları) eyni təsvirə malikdir, onda onlar eyni şəkildə bərabərdirlər. Teopewa 3 (p'ieiost* Laplasın çevrilməsi). Əgər funksiyalar orijinaldırsa, onda hər hansı mürəkkəb sabitlər üçün α Müddətin etibarlılığı təsviri təyin edən inteqralın xətti xüsusiyyətindən irəli gəlir: , müvafiq olaraq funksiyaların artım göstəriciləridir). Bu xassə əsaslanaraq, biz də eyni şəkildə bunu və daha sonra Teorem 4-ü (oxşarlıqları) əldə edirik. Əgər f(t) ilkin funksiyadırsa və F(p) onun Laplas şəklidirsə, onda hər hansı a > O sabiti üçün. = m-də təyin etməklə biz bu teoremi istifadə edərək (5) və (6) düsturlarından Teoremi əldə edirik. 5 (orijinalın fərqləndirilməsi haqqında). F(p) təsviri ilə orijinal funksiya olsun və orijinal funksiyalar da olsun və funksiyanın artım indeksi haradadır. Sonra və ümumi olaraq burada düzgün limit dəyəri nəzərdə tutulur. Şəkli tapaq Hissələrə görə inteqrasiya etdikdə (10) sağ tərəfindəki inteqraldan kənar termin k kimi yox olur. Rc р = s > з üçün t = Odets -/(0) əvəzliyi var. . (10)-da sağdakı ikinci həd pF(p)-ə bərabərdir. Beləliklə, (10) əlaqə formasını alır və düstur (8) isbat olunur. Xüsusilə, əgər f(n\t) şəklini tapmaq üçün n dəfə hissələrə görə inteqral edərək haradan yazsaq, 4-cü Nümunəni alırıq. Orijinalın diferensiallaşdırılması teoremindən istifadə edərək f(t) = funksiyasının şəklini tapırıq. günah2 t. Buna görə də, 5-ci teorem Laplas inteqral çevrilməsinin əlamətdar xassəsini təyin etsin: o (Furye çevrilməsi kimi) diferensiallaşdırma əməliyyatını s-ə vurmanın cəbri əməliyyatına çevirir. Daxiletmə düsturu. Əgər onlar orijinal funksiyalardırsa, əslində, Teorem 1-in nəticəsi əsasında hər bir təsvir sıfıra meyl edir. Bu o deməkdir ki, daxiletmə düsturu aşağıdakı kimidir (Teorem 6 (şəklin diferensiasiyası haqqında). Təsvirin diferensiasiyası orijinala vurulmasına qədər azaldılır. Yarım müstəvidə F(p) funksiyası analitik olduğundan onu diferensiallaşdırmaq olar. p ilə əlaqədar. Bizdə sonuncu sadəcə o deməkdir ki, Nümunə 5. Teorem 6-dan istifadə edərək, 4 funksiyasının şəklini tapın. orijinal təsviri Let-ə bölmək üçün azaldılır. Əgər orijinal funksiya varsa, onun orijinal funksiya olacağını yoxlamaq çətin deyil sübut edilmiş əlaqəyə ekvivalentdir (13. Bu halda M funksiyasının şəklini tapın ki, buna görə də 8-ci teorem (şəklin inteqrasiyası). Əgər inteqral yaxınlaşırsa, onda o, ^ funksiyasının təsviri kimi xidmət edir: LAPLACE TRANSFORM). Əsas təriflər Funksiyaların qıvrılması Vurma teoremi Şəkildən orijinalın tapılması Əməliyyat hesablamasının inversiya teoremindən istifadə Dühamel düsturu Sabit əmsallı xətti diferensial tənliklərin inteqrallanması İnteqral tənliklərin həlli Həqiqətən, inteqrasiya yolunun yarımmüstəvidə olduğunu fərz etsək, belə ki, inteqrasiya sırasını dəyişə bilərik. Son bərabərlik onun funksiyanın şəkli olduğunu bildirir. Nümunə 7. M funksiyasının şəklini tapın Məlum olduğu kimi. Buna görə də, biz £ = 0 aldığımızı güman etdiyimiz üçün, nə vaxt. Buna görə də (16) əlaqəsi Nümunə formasını alır. Qrafik olaraq təyin olunmuş f(t) funksiyasının şəklini tapın (şək. 5). f(t) funksiyasının ifadəsini aşağıdakı formada yazaq: Bu ifadəni aşağıdakı kimi almaq olar. Funksiyanı nəzərdən keçirin və ondan funksiyanı çıxarın, fərq birə bərabər olacaq. Yaranan fərqə funksiyanı əlavə edirik, nəticədə f(t) funksiyasını alırıq (şəkil 6 c), belə ki, buradan gecikmə teoremindən istifadə edərək 10-cu teoremi (yer dəyişdirmə) tapırıq. onda hər hansı bir kompleks ədəd üçün po Əslində, Teorem eksponensial funksiya ilə vurulan eyni funksiyaların şəkillərini tapmaq üçün funksiyaların məlum təsvirlərindən istifadə etməyə imkan verir, məsələn, 2.1. Funksiya qatlama. Vurma teoremi Bütün t üçün f(t) funksiyaları müəyyən və kəsilməz olsun. Bu funksiyaların çevrilməsi adlanır yeni xüsusiyyət t üzrə, bərabərliklə müəyyən edilir (əgər bu inteqral varsa). Orijinal funksiyalar üçün konvolve əməliyyatı həmişə mümkün olur və (17) 4 Əslində, orijinal funksiyaların m funksiyası kimi hasili sonlu funksiyadır, yəni. bəzi sonlu intervaldan kənarda yox olur (bu halda seqmentdən kənarda. Sonlu davamlı funksiyalar üçün bükülmə əməliyyatı həyata keçirilə bilər və biz düsturunu alırıq. Bükülmə əməliyyatının kommutativ olduğunu yoxlamaq çətin deyil, Teorem 11 (vurma). Əgər , onda t) bükülməsinin təsviri var Bunu yoxlamaq çətin deyil ki, bükülmə (orijinal funksiyaların artım göstəricisi olan orijinal funksiyadır » burada, müvafiq olaraq funksiyaların artım göstəriciləridir. Təsviri tapaq. Bükülmənin sağdakı inteqralda inteqrasiya sırasını dəyişdirərək (belə bir əməliyyat qanunidir) və gecikmə teoremini tətbiq edərək, (18) və (19)-dan əldə edirik. Şəkillərin vurulması orijinalların bükülməsinə uyğundur, Prter 9. Funksiyanın şəklini tapın V(0) funksiyası vurma teoreminə görə, /(ξ) funksiyası ilə dövri olsun period T , ilkin funksiyadır göstərin ki, onun Laplas şəkli F(p) 3-cü düsturla verilir. Şəkildən orijinalın tapılması Məsələ aşağıdakı kimi ifadə edilir: F(p) funksiyası verildikdə, funksiyanı tapmaq lazımdır. /(<)>kimin şəkli F(p). Kompleks p dəyişəninin F(p) funksiyasının təsvir kimi xidmət etməsi üçün kifayət qədər şərtləri formalaşdıraq. Teorem 12. Əgər F(p) funksiyası yarımmüstəvidə analitikdirsə, 1) arg p-yə nisbətən hər hansı R s0 yarımmüstəvisində olduğu kimi sıfıra meyllidir; 2) inteqral mütləq yaxınlaşır, onda F(p) hansısa orijinal funksiyanın şəklidir Məsələ. F(p) = funksiyası hansısa orijinal funksiyanın təsviri kimi xidmət edə bilərmi? Şəkildən orijinalı tapmağın bəzi yollarını göstərəcəyik. 3.1. Şəkil cədvəllərindən istifadə edərək orijinalın tapılması Hər şeydən əvvəl F(p) funksiyasını daha sadə, “cədvəl” formaya gətirməyə dəyər. Məsələn, F(p) p arqumentinin kəsr rasional funksiyası olduğu halda, o elementar kəsrlərə parçalanır və Laplas çevrilməsinin müvafiq xassələrindən istifadə edilir. Nümunə 1. üçün orijinalı tapın F(p) funksiyasını formada yazırıq Laplas çevrilməsinin yerdəyişmə teoremindən və xəttilik xassəsindən istifadə edərək 2-ci Nümunəni alırıq. 4-cü funksiya üçün orijinalı tapırıq F(p)-ni yazırıq. forma Beləliklə, 3.2. İnversiya teoremindən və onun nəticələrindən istifadə etməklə 13-cü teorem (inversiya). Əgər fit) funksiyası artım göstəricisi s0 olan orijinal funksiyadırsa və F(p) onun şəklidirsə, f(t) funksiyasının fasiləsizliyinin istənilən nöqtəsində inteqralın istənilən düz xətt boyunca götürüldüyü yerdə münasibət təmin edilir və əsas dəyər mənasında başa düşülür, yəni Formula (1) Laplas çevrilməsi inversiya düsturu və ya Mellin düsturu adlanır. Həqiqətən, məsələn, f(t) hər sonlu seqmentdə hissə-hissə hamar olsun)