Cəbri tamamlayıcı- matris cəbri anlayışı; A kvadrat matrisinin aij elementinə münasibətdə aij elementinin minorunu (1)i+j-ə vurmaqla əmələ gəlir; Aij ilə işarələnir: Aij=(1)i+jMij, burada Mij A= matrisinin aij elementinin minorudur, yəni. təyinedici ...... İqtisadi və riyaziyyat lüğəti

cəbri tamamlayıcı- Matris cəbri anlayışı; A kvadrat matrisinin aij elementinə münasibətdə aij elementinin minorunu (1)i+j-ə vurmaqla əmələ gəlir; Aij ilə işarələnir: Aij=(1)i+jMij, burada Mij A= matrisinin aij elementinin minorudur, yəni. matrisin determinantı,...... Texniki Tərcüməçi Bələdçisi

Sənətə baxın. Müəyyənedici... Böyük Sovet Ensiklopediyası

Minor M üçün, M-nin k dərəcəli kiçik olduğuna bərabər olan, nömrələri olan sətirlərdə və n dərəcəli bəzi kvadrat A matrisinin nömrələri olan sütunlarda yerləşən ədəd; Kiçik M-nin sətir və sütunlarını silməklə A matrisindən alınan n k dərəcəli matrisin təyinedicisi;... ... Riyaziyyat ensiklopediyası

Vikilüğətdə "əlavə" üçün giriş var Əlavə... Vikipediya mənasını verə bilər

Əməliyyat verilmiş X çoxluğunun alt çoxluğunu başqa bir alt çoxluqla uyğunlaşdırır ki, əgər Mi N məlumdursa, X çoxluğu bu və ya digər şəkildə bərpa oluna bilər. ... Riyaziyyat ensiklopediyası

Və ya müəyyənedici, riyaziyyatda, başqa bir nömrənin yerləşdirildiyi uyğunluqda kvadrat cədvəl şəklində nömrələrin qeydi (determinantın qiyməti). Çox vaxt determinant anlayışı həm determinantın mənasını, həm də onun qeyd formasını ifadə edir.…… Collier ensiklopediyası

Ehtimal nəzəriyyəsindən bir teorem üçün Moivre-Laplasın yerli teoremi məqaləsinə baxın. Laplas teoremi xətti cəbrin teoremlərindən biridir. Fransız riyaziyyatçısı Pyer Simon Laplasın (1749 1827) şərəfinə adlandırılmışdır, o, ... ... Vikipediya

- (Laplas matrisi) matrisdən istifadə edərək qrafikin təsvirlərindən biri. Kirchhoff matrisi müəyyən bir qrafikin (matris ağacı teoremi) əhatə edən ağaclarını saymaq üçün istifadə olunur və spektral qrafik nəzəriyyəsində də istifadə olunur. Mündəricat 1... ...Vikipediya

Tənlik iki cəbri ifadənin bərabərliyini ifadə edən riyazi əlaqədir. Əgər bərabərlik ona daxil olan naməlumların hər hansı icazə verilən qiymətləri üçün doğrudursa, ona eynilik deyilir; məsələn, formanın nisbəti...... Collier ensiklopediyası

kitablar

• Diskret riyaziyyat, A.V.Çaşkin. 352 səhifədən ibarət olan dərslik əsas bölmələr üzrə 17 fəsildən ibarətdir diskret riyaziyyat: kombinator analizi, qrafik nəzəriyyəsi, Boolean funksiyaları,hesablama mürəkkəbliyi və kodlaşdırma nəzəriyyəsi. Tərkibində...

Determinantın hər hansı elementinin minoru deyilir ikincinin müəyyənedicisi

verilmiş determinantdan bu elementi ehtiva edən sətir və sütunu silməklə əldə edilən sıra. Element üçün belə kiçik

element üçün:

Determinantın hər hansı elementinin cəbri tamamlayıcısı əmsalı ilə götürülmüş bu elementin minorudur, burada i elementin sıra nömrəsi, j sütun nömrəsidir. Beləliklə, elementin cəbri tamamlayıcısı:

Misal. Cəbri tamamlayıcıları tapın determinantın elementləri üçün.

Teorem. Determinant onun hər hansı sütun və ya sətirinin elementlərinin hasillərinin və onların cəbri tamamlamalarının cəminə bərabərdir.

Başqa sözlə, müəyyənedici üçün aşağıdakı bərabərliklər yerinə yetirilir.

Bu bərabərliklərin sübutu müəyyənedicinin elementləri vasitəsilə cəbri əlavələri onların ifadələri ilə əvəz etməkdən ibarətdir və (3) ifadəsini alırıq. Bunu özünüz etməyiniz tövsiyə olunur. Altı düsturdan birini istifadə edərək determinantın dəyişdirilməsi müəyyənedicinin müvafiq sütunun və ya sətirin elementlərinə parçalanması adlanır. Bu genişlənmələr determinantları hesablamaq üçün istifadə olunur.

Misal. Determinantı ikinci sütunun elementlərinə genişləndirərək hesablayın.

Üçüncü dərəcəli determinantın sətir və ya sütunun elementlərinə genişləndirilməsi teoremindən istifadə etməklə üçüncü dərəcəli determinantlar üçün 1-8 xassələrinin etibarlılığını sübut etmək olar. Bu bəyanatın doğruluğunu yoxlamaq üçün nəzərdə tutulub. Determinantların xassələri və determinantın sütun və ya sətir elementlərinə parçalanmasına dair teorem determinantların hesablamalarını sadələşdirməyə imkan verir.

Misal. Determinantı hesablayın.

Gəlin hesablayaq ümumi çarpanİkinci sıranın "2" elementləri, sonra üçüncü sütunun elementlərinin eyni ümumi faktoru.

Birinci sətrin elementlərini ikinci sətrin uyğun elementlərinə, sonra üçüncü sətirə əlavə edək.

Determinantı birinci sütunun elementlərinə genişləndirək.

sətir və ya sütunun elementləri ilə müəyyənedici

Əlavə xüsusiyyətlər kiçik və cəbri tamamlama anlayışları ilə bağlıdır

Tərif. Kiçik element kəsildikdən sonra qalan elementlərdən ibarət müəyyənedici adlanıri-ci drenajlar vəjbu elementin yerləşdiyi kəsişməsindəki sütun. Determinant elementinin minoru n-ci sifarişin sifarişi var ( n- 1). ilə işarə edəcəyik.

Misal 1. Qoy , Sonra .

Bu minor A-dan ikinci sətir və üçüncü sütunun üstündən xətt çəkməklə əldə edilir.

Tərif. Cəbri tamamlayıcı element nat.e ilə vurulan uyğun minor adlanır , Haradai-sətir nömrəsi vəj-bu elementin kəsişməsində yerləşdiyi sütunlar.

VІІІ. (Determinantın müəyyən sətirin elementlərinə parçalanması). Determinant müəyyən cərgənin elementlərinin hasillərinin və onlara uyğun gələn cəbri tamamlayıcıların cəminə bərabərdir.

.

Misal 2. Onda olsun

.

Misal 3. Birinci cərgənin elementlərinə genişləndirməklə matrisin determinantını tapaq.

Formal olaraq bu teorem və determinantların digər xassələri yalnız üçüncü dərəcəli matrislərin müəyyənediciləri üçün tətbiq edilir, çünki biz başqa təyinediciləri nəzərə almamışıq. Aşağıdakı tərif bizə bu xassələri istənilən nizamın determinantlarına genişləndirməyə imkan verəcək.

Tərif. Müəyyənedici matrislər A n-ci sıra genişlənmə teoreminin və determinantların digər xassələrinin ardıcıl tətbiqi ilə hesablanan ədəddir..

Siz yoxlaya bilərsiniz ki, hesablamaların nəticəsi yuxarıda göstərilən xassələrin hansı sıra və hansı sətir və sütunlar üçün tətbiq olunduğundan asılı deyil. Bu tərifdən istifadə edərək determinant unikal şəkildə tapılır.

Bu tərifdə müəyyənedicinin tapılması üçün açıq bir düstur olmasa da, onu aşağı dərəcəli matrislərin determinantlarına endirməklə tapmağa imkan verir. Belə təriflər deyilir təkrarlanan.

Misal 4. Determinantı hesablayın: .

Faktorlara ayırma teoremi verilmiş matrisin hər hansı sətir və ya sütununa tətbiq oluna bilsə də, mümkün qədər çox sıfır olan sütun boyunca faktorlara ayırmaqla daha az hesablamalar əldə edilir.

Matrisdə sıfır elementlər olmadığı üçün onları 7) xassəsindən istifadə edərək əldə edirik. Birinci sətri ardıcıl olaraq (–5), (–3) və (–2) rəqəmlərinə vurun və onu 2-ci, 3-cü və 4-cü sətirlərə əlavə edin və əldə edin:

Nəticə determinantını birinci sütun boyunca genişləndirək və əldə edək:

(4-cü xassə görə 1-ci sətirdən (–4), 2-ci sətirdən (–2), 3-cü sətirdən (–1) çıxarırıq)

(çünki determinant iki mütənasib sütundan ibarətdir).

§ 1.3. Matrislərin bəzi növləri və onların təyinediciləri

Tərif. Kvadrat m əsas diaqonalın altında və ya üstündə sıfır elementləri olan matris(=0 i j, və ya = 0 i j) çağırdıüçbucaqlı .

Onların sxematik quruluşu müvafiq olaraq belə görünür: və ya .

Burada 0 sıfır elementləri, ixtiyari elementləri bildirir.

Teorem. Kvadratın təyinedicisi üçbucaqlı matrisəsas diaqonalda yerləşən onun elementlərinin məhsuluna bərabərdir, yəni.

.

Məsələn:

.

Tərif. Əsas diaqonaldan kənarda sıfır elementləri olan kvadrat matrisa deyilirdiaqonal .

Onun sxematik görünüşü:

Əsas diaqonalda yalnız vahid elementləri olan diaqonal matris deyilir subay matris. Bu ilə işarələnir:

Şəxsiyyət matrisinin determinantı 1-dir, yəni. E=1.

Matris azyaşlılar

Bir kvadrat verilsin matris A, n-ci sifariş. Kiçik bəzi element a ij , matrisin təyinedicisi n-ci sıra adlanır təyinedici(n - 1) seçilmiş a ij elementinin kəsişməsində yerləşdiyi sətir və sütunun üstündən xətt çəkməklə orijinaldan əldə edilən sıra. M ij ilə işarələnir.

Bir nümunəyə baxaq matrisin təyinedicisi 3 - onun qaydası:

Sonra tərifə uyğun olaraq azyaşlı, azyaşlı a 12 elementinə uyğun gələn M 12 olacaq təyinedici:

Eyni zamanda köməyi ilə azyaşlılar hesablama tapşırığını asanlaşdıra bilər matrisin təyinedicisi. Biz bunu yaymalıyıq matrisin təyinedicisi bir xətt boyunca və sonra təyinedici azyaşlılara görə bu xəttin bütün elementlərinin cəminə bərabər olacaqdır. Parçalanma matrisin təyinedicisi 3 - onun sırası belə görünəcək:

Məhsulun qarşısındakı işarə (-1) n-dir, burada n = i + j.

Cəbri əlavələr:

Cəbri tamamlayıcı a ij elementi onun adlanır azyaşlı, cəmi (i + j) cüt ədəd olarsa "+" işarəsi ilə, bu cəmi tək ədəd olarsa "-" işarəsi ilə götürülür. A ij ilə işarələnir. A ij = (-1) i+j × M ij.

Sonra yuxarıda göstərilən əmlakı yenidən formalaşdırmaq olar. Matris təyinedicisi müəyyən bir sıra (sətir və ya sütun) elementlərinin məhsulunun cəminə bərabərdir matrislər onların uyğunluğuna cəbri əlavələr. Misal:

4. Tərs matris və onun hesablanması.

A kvadrat olsun matris n-ci sifariş.

Kvadrat matris A qeyri-degenerativ əgər adlanır matrisin təyinedicisi(Δ = det A) sıfır deyil (Δ = det A ≠ 0). Əks halda (Δ = 0) matris A degenerativ adlanır.

Matris, ilə müttəfiqdir matris Ah, buna deyilir matris

Harada A ij - cəbri tamamlayıcı a ij elementi verilmişdir matrislər(kimi ilə eyni şəkildə müəyyən edilir cəbri tamamlayıcı element matrisin təyinedicisi).

Matris A -1 adlanır tərs matris A, şərt yerinə yetirilərsə: A × A -1 = A -1 × A = E, burada E vahiddir matris kimi eyni sifariş matris A. Matris A -1 ilə eyni ölçülərə malikdir matris A.

Tərs matris

Kvadrat varsa matrislərŞərti təmin edən X və A: X × A = A × X = E, burada E vahiddir matris eyni qaydada, sonra matris X adlanır tərs matris A matrisinə və A -1 ilə işarələnir. Hər hansı qeyri-degenerativ matris var tərs matris və üstəlik, yalnız bir, yəni kvadrat olması üçün matris A idi tərs matris, bunun üçün zəruri və kifayətdir təyinedici sıfırdan fərqli idi.

Qəbul etmək tərs matris düsturdan istifadə edin:

Burada M ji əlavədir azyaşlı element a ji matrislər A.

5. Matris dərəcəsi. Elementar çevrilmələrdən istifadə edərək dərəcənin hesablanması.

Düzbucaqlı mxn matrisini nəzərdən keçirək. Bu matrisdə bir neçə k sətir və k sütun seçək, 1 £ k £ min (m, n) . Seçilmiş sətir və sütunların kəsişməsində yerləşən elementlərdən k-ci dərəcəli determinant tərtib edirik. Bütün belə təyinedicilərə matris minorları deyilir. Məsələn, bir matris üçün ikinci dərəcəli kiçiklər tərtib edə bilərsiniz və birinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Tərif. Bir matrisin dərəcəsi bu matrisin sıfırdan fərqli minorunun ən yüksək sırasıdır. r(A) matrisinin dərəcəsini qeyd edin.

Verilən nümunədə matrisin dərəcəsi ikidir, çünki məsələn, kiçikdir

Elementar çevrilmə metodundan istifadə edərək matrisin rütbəsini hesablamaq rahatdır. Elementar çevrilmələrə aşağıdakılar daxildir:

1) sıraların (sütunların) yenidən təşkili;

2) sətirin (sütunun) sıfırdan fərqli rəqəmə vurulması;

3) bir sıra (sütun) elementlərinə əvvəllər müəyyən sayda vurulmuş başqa bir sıranın (sütun) uyğun elementlərinin əlavə edilməsi.

Bu çevrilmələr matrisin rütbəsini dəyişmir, çünki məlumdur ki, 1) sətirlər yenidən düzüldükdə determinant işarəsini dəyişir və əgər sıfıra bərabər deyildisə, onda artıq olmayacaq; 2) müəyyənedicinin sətirini sıfıra bərabər olmayan ədədə vurarkən müəyyənedici bu ədədə vurulur; 3) üçüncü elementar çevrilmə determinantı qətiyyən dəyişmir. Beləliklə, bir matrisdə elementar çevrilmələr aparmaqla, onun və deməli, ilkin matrisin dərəcəsini hesablamaq asan olan bir matris əldə etmək olar.

Tərif. Elementar çevrilmələrdən istifadə edərək matrisdən alınan matris ekvivalent adlanır və işarələnir A IN.

Teorem. Elementar matris çevrilmələri zamanı matrisin rütbəsi dəyişmir.

Elementar çevrilmələrdən istifadə edərək, matrisi sözdə addım formasına endirə bilərsiniz, onun dərəcəsini hesablamaq çətin deyil.

Matris formasına malikdirsə, addım-addım adlanır:

Aydındır ki, dərəcə addım matrisi sıfırdan fərqli cərgələrin sayına bərabərdir , çünki sıfıra bərabər olmayan kiçik bir sıra var:

.

Misal. Elementar çevrilmələrdən istifadə edərək matrisin dərəcəsini təyin edin.

Matrisin dərəcəsi sıfırdan fərqli cərgələrin sayına bərabərdir, yəni. .

Bu mövzuda cəbri tamamlama və minor anlayışlarını nəzərdən keçirəcəyik. Materialın təqdimatı "Matrisalar. Matrislərin növləri. Əsas terminlər" mövzusunda izah edilən terminlərə əsaslanır. Determinantların hesablanması üçün bəzi düsturlara da ehtiyacımız olacaq. Bu mövzuda azyaşlılara və cəbri tamamlamalara aid çoxlu terminlər olduğundan, materialda naviqasiyanı asanlaşdırmaq üçün qısa xülasə əlavə edəcəyəm.

$a_(ij)$ elementinin kiçik $M_(ij)$

$M_(ij)$ element$a_(ij)$ matrisləri $A_(n\times n)$ $A$ matrisindən alınan matrisin determinantını silməklə adlandırır. i-ci xətt və j-ci sütun (yəni $a_(ij)$ elementinin kəsişməsində yerləşdiyi sətir və sütun).

Məsələn, dördüncü dərəcəli kvadrat matrisi nəzərdən keçirək: $A=\left(\begin(massiv) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84 \\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(massiv) \sağ)$. $a_(32)$ elementinin minorunu tapaq, yəni. $M_(32)$ tapaq. Əvvəlcə $M_(32)$ minorunu yazaq və sonra onun dəyərini hesablayaq. $M_(32)$ tərtib etmək üçün $A$ matrisindən üçüncü sətir və ikinci sütunu silirik (üçüncü sıra ilə ikinci sütunun kəsişməsində $a_(32)$ elementi yerləşir. ). Determinantı tələb olunan kiçik $M_(32)$ olan yeni matris əldə edəcəyik:

Bu kiçik hesablama mövzusundan 2 nömrəli düsturdan istifadə edərək hesablamaq asandır:

$$ M_(32)=\sol| \begin(massiv) (ccc) 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end(massiv) \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3) \cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$

Deməli, $a_(32)$ elementinin minoru 579-dur, yəni. $M_(32)=579$.

Çox vaxt ədəbiyyatda “kiçik matris elementi” ifadəsi əvəzinə “minor determinant elementi”nə rast gəlinir. Mahiyyət eyni qalır: $a_(ij)$ kiçik elementini əldə etmək üçün orijinaldan xətt çəkmək lazımdır. i-cinin təyinedicisi xətt və j-ci sütun. Qalan elementlər $a_(ij)$ elementinin minoru olan yeni təyinediciyə yazılır. Məsələn, $\left| determinantının $a_(12)$ elementinin minorunu tapaq. \begin(massiv) (ccc) -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end(massiv) \right|$. Tələb olunan kiçik $M_(12)$-ı yazmaq üçün verilmiş determinantdan birinci sətir və ikinci sütunu silməliyik:

Bu minorun qiymətini tapmaq üçün ikinci və üçüncü dərəcəli determinantların hesablanması mövzusundan №1 düsturdan istifadə edirik:

$$ M_(12)=\sol| \begin(massiv) (cc) 9 & -5\\ 4 & 7 \end(massiv) \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$

Deməli, $a_(12)$ elementinin minoru 83-dür, yəni. $M_(12)=83$.

$a_(ij)$ elementinin $A_(ij)$ cəbri tamamlayıcısı

$A_(n\times n)$ kvadrat matrisi verilsin (yəni, n-ci dərəcəli kvadrat matris).

Cəbri tamamlayıcı$A_(ij)$ element$A_(n\times n)$ matrisinin $a_(ij)$ aşağıdakı düsturla tapılır: $$ A_(ij)=(-1)^(i+j)\cdot M_(ij), $$

burada $M_(ij)$ $a_(ij)$ elementinin minorudur.

$A=\left(\begin(massiv) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \ matrisinin $a_(32)$ elementinin cəbri tamamlayıcısını tapaq. \ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(massiv) \right)$, yəni. $A_(32)$ tapaq. Əvvəllər kiçik $M_(32)=579$ tapdıq, buna görə də əldə edilən nəticədən istifadə edirik:

Adətən, cəbri tamamlamaları taparkən minor ayrıca hesablanmır və yalnız bundan sonra tamamlayıcı özü hesablanır. Kiçik qeyd buraxılmışdır. Məsələn, $A_(12)$ tapaq, əgər $A=\left(\begin(massiv) (ccc) -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end olarsa. (massiv) \sağ)$. $A_(12)=(-1)^(1+2)\cdot M_(12)=-M_(12)$ düsturuna görə. Bununla belə, $M_(12)$ almaq üçün $A$ matrisinin birinci cərgəsini və ikinci sütununu kəsmək kifayətdir, bəs nə üçün azyaşlı üçün əlavə qeyd tətbiq etmək lazımdır? Gəlin dərhal $A_(12)$ cəbri tamamlayıcısının ifadəsini yazaq:

$A_(m\dəfə n)$ matrisinin k-ci sırasının minoru

Əvvəlki iki abzasda yalnız kvadrat matrislərdən danışmışıqsa, burada sətirlərin sayı mütləq sütunların sayına bərabər olmayan düzbucaqlı matrislərdən də danışacağıq. Beləliklə, $A_(m\times n)$ matrisi verilsin, yəni. m sətir və n sütundan ibarət matris.

Kiçik k-ci sifariş$A_(m\times n)$ matrisi elementləri $A$ matrisinin k sətri və k sütununun kəsişməsində yerləşən müəyyənedicidir ($k≤ m$ və $k≤ n$ olduğu güman edilir).

Məsələn, bu matrisi nəzərdən keçirək:

$$A=\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(massiv) \sağ) $$

Gəlin bunun üçün üçüncü dərəcəli minor yazaq. Üçüncü dərəcəli minor yazmaq üçün bu matrisin istənilən üç sətirini və üç sütununu seçməliyik. Məsələn, 2, No 4, 6 sətirləri və 1, 2, 4 nömrəli sütunları götürün. Bu sətirlərin və sütunların kəsişməsində tələb olunan minorun elementləri yerləşdiriləcəkdir. Şəkildə kiçik elementlər mavi rənglə göstərilmişdir:

$$ \left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9 \\ \boldblue(2) & \boldblue(7) & 14 & \boldblue(6) \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ \boldblue(0) & \boldblue(1) & 19 & \boldblue(8)\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ \boldblue(5) & \boldblue(3) & -21 & \boldblue(9)\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(massiv) \sağ);\; M=\left|\begin(massiv) (ccc) 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \end(massiv) \sağ|. $$

Birinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar bir sıra və bir sütunun kəsişməsində tapılır, yəni. birinci dərəcəli kiçiklər verilmiş matrisin elementlərinə bərabərdir.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ matrisinin k-ci dərəcəli minoru adlanır. əsas, əgər verilmiş minorun əsas diaqonalında $A$ matrisinin yalnız əsas diaqonal elementləri varsa.

Nəzərinizə çatdırım ki, əsas diaqonal elementlər matrisin indeksləri bərabər olan elementləridir: $a_(11)$, $a_(22)$, $a_(33)$ və s. Məsələn, yuxarıda nəzərdən keçirilən $A$ matrisi üçün belə elementlər $a_(11)=-1$, $a_(22)=7$, $a_(33)=18$, $a_(44)= olacaq. 8$. Şəkildə onlar yaşıl rənglə vurğulanır:

$$\left(\begin(massiv) (cccc) \boldgreen(-1) & 0 & -3 & 9\\ 2 & \boldgreen(7) & 14 & 6 \\ 15 & -27 & \boldgreen(18) ) & 31\\ 0 & 1 & 19 & \boldgreen(8)\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end( massiv)\sağ)$$

Məsələn, $A$ matrisində 1 və 3 nömrəli sətirləri və sütunları kəsiriksə, onda onların kəsişməsində ikinci dərəcəli minor elementləri olacaq, onların əsas diaqonalında yalnız diaqonal elementləri olacaqdır. $A$ matrisi ($A$ matrisinin $a_(11) =-1$ və $a_(33)=18$ elementləri). Beləliklə, ikinci dərəcəli əsas kiçik alırıq:

$$ M=\left|\begin(massiv) (cc) \boldgreen(-1) & -3 \\ 15 & \boldgreen(18) \end(massiv) \sağ| $$

Təbii ki, biz digər sətir və sütunları, məsələn, 2 və 4 rəqəmləri ilə götürə bilərik və bununla da ikinci dərəcəli fərqli əsas minor əldə edə bilərik.

$A_(m\times n)$ matrisinin k-ci sırasının bəzi kiçik $M$ sıfıra bərabər olmasın, yəni. $M\neq 0$. Bu halda, sırası k-dən yüksək olan bütün yetkinlik yaşına çatmayanlar sıfıra bərabərdir. Sonra kiçik $M$ çağırılır əsas, və əsas minorun elementlərinin yerləşdiyi sətir və sütunlar adlanır əsas simlər Və əsas sütunlar.

Məsələn, aşağıdakı matrisi nəzərdən keçirin:

$$A=\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(massiv) \sağ) $$

Elementləri 1, 2, 3 nömrəli sətirlərlə 1, 3, 4 nömrəli sütunların kəsişməsində yerləşən bu matrisin minorunu yazaq. Üçüncü dərəcəli minor alırıq (onun elementləri $A$ matrisində bənövşəyi rənglə vurğulanır):

$$ \left(\begin(massiv) (ccc) \boldpurple(-1) & 0 & \boldpurple(3) & \boldpurple(0) & 0 \\ \boldpurple(2) & 0 & \boldpurple(4) & \boldpurple(1) & 0\\ \boldpurple(1) & 0 & \boldpurple(-2) & \boldpurple(-1) & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(massiv) \ sağ);\; M=\left|\begin(massiv) (ccc) -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(massiv) \sağ|. $$

İkinci və üçüncü dərəcəli determinantların hesablanması mövzusundan 2 nömrəli düsturdan istifadə edərək bu minorun qiymətini tapaq:

$$ M=\sol| \begin(massiv) (ccc) -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(massiv) \right|=4+3+6-2=11. $$

Beləliklə, $M=11\neq 0$. İndi sırası üçdən yuxarı olan hər hansı bir yetkinlik yaşına çatmayanı tərtib etməyə çalışaq. Dördüncü dərəcəli minor yaratmaq üçün dördüncü sıradan istifadə etməliyik, lakin bu sıranın bütün elementləri sıfırdır. Buna görə də, hər hansı dördüncü dərəcəli kiçiklərin sıfır sırası olacaq, yəni bütün dördüncü dərəcəli kiçiklər sıfıra bərabərdir. $A$ matrisində cəmi 4 cərgə olduğu üçün beşinci və daha yüksək səviyyəli kiçikləri yarada bilmərik.

Sıfıra bərabər olmayan üçüncü dərəcəli minor tapdıq. Bu halda, daha yüksək dərəcəli bütün yetkinlik yaşına çatmayanlar sıfıra bərabərdir, buna görə də hesab etdiyimiz minor əsasdır. Bu minorun elementlərinin yerləşdiyi $A$ matrisinin sətirləri (birinci, ikinci və üçüncü) əsas sətirlər, $A$ matrisinin birinci, üçüncü və dördüncü sütunları isə əsas sütunlardır.

Bu misal, təbii ki, əhəmiyyətsizdir, çünki onun məqsədi əsas minorun mahiyyətini aydın şəkildə göstərməkdir. Ümumiyyətlə, bir neçə əsas yetkinlik yaşına çatmayanlar ola bilər və adətən belə bir azyaşlının axtarışı prosesi çox daha mürəkkəb və genişdir.

Gəlin başqa bir anlayışı təqdim edək - sərhədyanı minor.

$A_(m\times n)$ matrisinin müəyyən k-ci dərəcəli kiçik $M$-ı k sətir və k sütunun kəsişməsində yerləşsin. Bu sətir və sütunların çoxluğuna başqa sətir və sütun əlavə edək. Nəticədə (k+1)-ci sıranın minoru deyilir kənar kiçik kiçik $M$ üçün.

Məsələn, aşağıdakı matrisə baxaq:

$$A=\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & - 9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(massiv) \sağ) $ $

Elementləri 2-ci və 5-ci sətirlərin, eləcə də 2-ci və 4-cü sütunların kəsişməsində yerləşən ikinci dərəcəli minor yazaq. Bu elementlər matrisdə qırmızı rənglə vurğulanır:

$$ \left(\begin(massiv) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred(-17) & -3 & \boldred(19) & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred(12) & 20 & \boldred(21) & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(massiv) \sağ);\; M=\left|\begin(massiv) (ccc) -17 & 19 \\ 12 & 21 \end(massiv) \sağ|. $$

Minor $M$ elementlərinin yerləşdiyi sətirlər çoxluğuna daha bir 1 nömrəli sətir, sütunlar çoxluğuna isə 5 nömrəli sütun əlavə edək. Biz yeni kiçik $M"$ alırıq (artıq üçüncü sıradandır), onun elementləri №1, 2, №5 sətirlərin və 2, №4, №-li sütunların kəsişməsində yerləşir. 5. Şəkildəki kiçik $M$ elementləri qırmızı rənglə vurğulanıb və kiçik $M$-a əlavə etdiyimiz elementlər mavi rəngdədir:

$$ \left(\begin(massiv) (ccccc) -1 & \boldblue(2) & 0 & \boldblue(-2) & \boldblue(-14)\\ 3 & \boldred(-17) & -3 & \boldred(19) & \boldblue(29)\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred(12) & 20 & \boldred(21) & \boldblue(54)\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(massiv) \sağ);\; M"=\left|\begin(massiv) (ccc) 2 & -2 & -14 \\ -17 & 19 & 29 \\ 12 & 21 & 54 \end(massiv) \sağ|. $$

Minor $M"$ kiçik $M$ üçün sərhəd kiçikdir. Eynilə, kiçik $M$ elementlərinin yerləşdiyi sətirlər dəstinə 4-cü sətir və 3-cü sütun da çoxluğuna əlavə edilir. sütunlarda kiçik $M""$ əldə edirik (üçüncü dərəcəli kiçik):

$$ \left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred(-17) & \boldblue(-3) & \boldred(19) & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & \boldblue(11) & \boldblue(19) & \boldblue(-20) & -98\\ 6 & \boldred(12) & \ qalın mavi(20) & \boldred(21) & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(massiv) \sağ);\; M""=\left|\begin(massiv) (ccc) -17 & -3 & 19 \\ 11 & 19 & -20 \\ 12 & 20 & 21 \end(massiv) \sağ|. $$

Kiçik $M""$ həm də kiçik $M$ üçün həmsərhəddir.

$A_(n\dəfə n)$ matrisinin k-ci sırasının minoru. Əlavə kiçik. Kvadrat matrisin minorunun cəbri tamamlayıcısı.

Yenidən kvadrat matrislərə qayıdaq. Əlavə azyaşlı anlayışını təqdim edək.

$A_(n\times n)$ matrisinin k-ci sırasının müəyyən kiçik $M$ verilsin. Kiçik $M$ olan sətir və sütunlar silindikdən sonra elementləri $A$ matrisindən alınan (n-k)-ci dərəcəli determinant kiçik adlanır, azyaşlıya tamamlayıcı$M$.

Məsələn, beşinci dərəcəli kvadrat matrisi nəzərdən keçirək:

$$ A=\left(\begin(massiv)(cccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & - 9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(massiv) \sağ) $$

1 və 3 nömrəli sətirləri, həmçinin 2 və 5 nömrəli sütunları seçək. Bu sətirlərin və sütunların kəsişməsində ikinci sıranın kiçik $M$ elementləri olacaqdır. Bu elementlər $A$ matrisində yaşıl rənglə vurğulanır:

$$ \left(\begin(massiv)(cccc) -1 & \boldgreen(2) & 0 & -2 & \boldgreen(-14)\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & \boldgreen(-6) & 8 & -9 & \boldgreen(41)\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(massiv)\ sağ);\; M=\left|\begin(massiv)(cc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(massiv) \right|. $$

İndi gəlin $A$ matrisindən 1 və 3 nömrəli sətirləri və 2 və 5 nömrəli sütunları çıxaraq, onların kəsişməsində kiçik $M$ elementləri (çıxarılmış sətir və sütunların elementləri) yerləşir. aşağıdakı şəkildə qırmızı ilə göstərilmişdir). Qalan elementlər kiçik $M"$ təşkil edir:

$$ \left(\begin(massiv)(cccc) \boldred(-1) & \boldred(2) & \boldred(0) & \boldred(-2) & \boldred(-14)\\ 3 & \ qalın(-17) & -3 & 19 & \boldred(29)\\ \boldred(5) & \boldred(-6) & \boldred(8) & \boldred(-9) & \boldred(41)\ \ -5 & \boldred(11) & 16 & -20 & \boldred(-98)\\ -7 & \boldred(10) & 14 & -36 & \boldred(79) \end(massiv) \sağ) ;\; M"=\left|\begin(massiv) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(massiv)\sağ|. $$

Sifarişi $5-2=3$ olan kiçik $M"$, kiçik $M$-a tamamlayıcı minordur.

Minorun cəbri tamamlaması$A_(n\təfə n)$ kvadrat matrisinin $M$ ifadəsi $(-1)^(\alpha)\cdot M"$ ifadəsi adlanır, burada $\alpha$ sətir və sütun nömrələrinin cəmidir kiçik $M$ elementlərinin yerləşdiyi $A$ matrisinin və $M"$ kiçik $M$-ın kiçik tamamlayıcısıdır.

“Kiçik $M$-a cəbri tamamlayıcı” ifadəsi çox vaxt “kiçik $M$-a cəbri tamamlayıcı” ifadəsi ilə əvəz olunur.

Məsələn, $A$ matrisini nəzərdən keçirək, onun üçün ikinci dərəcəli kiçik $ M=\left| \begin(massiv) (ccc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(massiv) \sağ| $ və onun əlavə üçüncü dərəcəli kiçik: $M"=\left| \begin(massiv) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end (massiv) \right|$ kiçik $M$-ın cəbri tamamlayıcısını $M^*$ kimi işarə edək.

$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$

$\alpha$ parametri kiçik $M$-ın yerləşdiyi sətir və sütunların sayının cəminə bərabərdir. Bu minor 1, 3 nömrəli sətirlərlə 2, 5 nömrəli sütunların kəsişməsində yerləşir. Beləliklə, $\alpha=1+3+2+5=11$. Beləliklə:

$$ M^*=(-1)^(11)\cdot M"=-\left| \begin(massiv) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(massiv) \sağ|.

Prinsipcə, ikinci və üçüncü dərəcəli determinantların hesablanması mövzusundan №2 düsturdan istifadə edərək, $M^*$ dəyərini əldə edərək hesablamaları tamamlaya bilərsiniz:

$$ M^*=-\sol| \begin(massiv) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(massiv) \right|=-30. $$

Başlayın