mxn ölçülü ixtiyari, kvadrat deyil, A matrisini nəzərdən keçirək.

Matris dərəcəsi.

Matris dərəcəsi anlayışı matrisin sətirlərinin (sütunlarının) xətti asılılığı (müstəqilliyi) anlayışı ilə əlaqələndirilir. Simlər üçün bu anlayışı nəzərdən keçirək. Sütunlar üçün - eyni şəkildə.

A matrisinin boşalmalarını qeyd edək:

e 1 =(a 11,a 12,...,a 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1,a m2,…,a mn)

e k =e s əgər a kj =a sj , j=1,2,…,n

Element üzrə element üzrə yerinə yetirilən əməliyyatlar kimi matrisin sətirləri üzərində hesab əməliyyatları (toplama, ədədə vurma) təqdim edilir: λе k =(λа k1 ,λа k2 ,…,λа kn);

e k +е s =[(a k1 +a s1),(a k2 +a s2),...,(a kn +a sn)].

e xətti adlanır xətti birləşmə e 1, e 2,…, e k sətirləri, əgər bu sətirlərin hasillərinin ixtiyari həqiqi ədədlərlə cəminə bərabərdirsə:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

e 1, e 2,…, e m xətləri adlanır xətti asılı, λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , hamısı sıfıra bərabər olmayan həqiqi ədədlər varsa, bu sətirlərin xətti kombinasiyası sıfır sətirinə bərabərdir: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ,Harada 0 =(0,0,…,0) (1)

Xətti birləşmə sıfıra bərabərdirsə və yalnız bütün λ i əmsalları sıfıra bərabər olduqda (λ 1 =λ 2 =...=λ m =0), o zaman e 1, e 2,..., sətirləri. e m deyilir xətti müstəqil.

Teorem 1. e 1 , e 2 ,..., e m sətirlərinin xətti asılı olması üçün bu sətirlərdən birinin qalan sətirlərin xətti birləşməsi olması zəruri və kifayətdir.

Sübut. Zərurət. e 1, e 2,…, e m sətirləri xətti asılı olsun. Qoy, dəqiqlik üçün, (1) λ m ≠0, onda

Bu. e m sətri qalan sətirlərin xətti birləşməsidir. və s.

Adekvatlıq. Sətirlərdən biri, məsələn, e m, qalan sətirlərin xətti kombinasiyası olsun. Sonra formada yenidən yazıla bilən bərabərliyin təmin olunduğu rəqəmlər olacaq

burada əmsallardan ən azı 1-i (-1) sıfıra bərabər deyildir. Bunlar. cərgələr xətti asılıdır. və s.

Tərif. Kiçik k-ci sifariş mxn ölçülü A matrisi, elementləri A matrisinin istənilən k sətirinin və istənilən k sütununun kəsişməsində yerləşən k-ci dərəcəli determinant adlanır. (k≤min(m,n)). .

Misal., 1-ci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar: =, =;

2-ci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar: , 3-cü dərəcəli

3-cü dərəcəli matrisin 9 1-ci dərəcəli kiçik, 9 2-ci dərəcəli kiçik və 1 3-cü dərəcəli kiçik (bu matrisin təyinedicisi) var.

Tərif. A matrisinin dərəcəsi bu matrisin sıfırdan fərqli kiçiklərinin ən yüksək sırasıdır. Təyinat - rg A və ya r(A).

Matris dərəcə xassələri.

1) A nxm matrisinin rütbəsi onun ölçülərindən kiçik olandan artıq deyil, yəni.

r(A)≤min(m,n).

2) bütün matrisin elementləri 0-a bərabər olduqda r(A)=0, yəni. A=0.

3) n-ci dərəcəli A kvadrat matrisi üçün r(A)=n, A qeyri-degenerativ olduqda.

(Rütbə diaqonal matris onun sıfırdan fərqli diaqonal elementlərinin sayına bərabərdir).

4) Əgər matrisin dərəcəsi r-ə bərabərdirsə, onda matrisin sıfıra bərabər olmayan ən azı bir kiçik r sırası var və daha yüksək dərəcəli bütün kiçiklər sıfıra bərabərdir.

Matris dərəcələri üçün aşağıdakı əlaqələr mövcuddur:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(A T A)=r(A);

5) r(AB)=r(A), əgər B kvadrat tək olmayan matrisdirsə.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, burada n A matrisinin sütunlarının və ya B matrisinin sətirlərinin sayıdır.

Tərif. r(A) sırasının sıfırdan fərqli minoru deyilir əsas kiçik. (Matrisa A bir neçə əsas azyaşlı ola bilər). Kəsişməsində əsas minor olan sətirlər və sütunlar müvafiq olaraq adlanır əsas simlər Və əsas sütunlar.

Teorem 2 (minor əsası haqqında).Əsas sətirlər (sütunlar) xətti müstəqildir. A matrisinin istənilən sətri (hər hansı bir sütun) əsas sətirlərin (sütunların) xətti birləşməsidir.

Sübut. (Simlər üçün). Əgər əsas cərgələr xətti asılı idisə, onda (1) Teoremə görə bu cərgələrdən biri digər əsas cərgələrin xətti kombinasiyası olardı, onda əsas minorun dəyərini dəyişmədən göstərilən xətti kombinasiyanı bu cərgədən çıxara bilərsiniz. və sıfır cərgəsi alın və bu, əsas minorun sıfırdan fərqli olmasına ziddir. Bu. əsas sətirlər xətti müstəqildir.

Sübut edək ki, A matrisinin istənilən sətiri əsas sətirlərin xətti kombinasiyasıdır. Çünki sətirlərin (sütunların) ixtiyari dəyişməsi ilə determinant sıfıra bərabər olmaq xassəsini saxlayır, onda ümumiliyi itirmədən əsas minorun matrisin yuxarı sol küncündə olduğunu güman edə bilərik.

A=, olanlar. birinci r sətir və birinci r sütunda yerləşir. 1£j£n, 1£i£m olsun. Göstərək ki, (r+1) sırasının təyinedicisi

Əgər j£r və ya i£r, onda bu təyinedici sıfıra bərabərdir, çünki iki eyni sütun və ya iki eyni sıra olacaq.

Əgər j>r və i>r olarsa, onda bu determinant A matrisinin (r+1)-ci sırasının minorudur. Matrisin dərəcəsi r-dir, yəni daha yüksək səviyyəli hər hansı bir kiçik 0-a bərabərdir.

Sonuncu (əlavə) sütunun elementlərinə görə genişləndirərək, alırıq

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, burada sonuncu cəbri tamamlayıcı A ij əsas minor M r ilə üst-üstə düşür və buna görə də A ij = M r ≠0.

Son bərabərliyi A ij-ə bölməklə, a ij elementini xətti birləşmə kimi ifadə edə bilərik: , burada .

i (i>r) qiymətini təyin edək və tapaq ki, hər hansı j (j=1,2,...,n) üçün i-ci sətirin elementləri e i xətti e sətirlərinin elementləri vasitəsilə xətti ifadə olunur. 1, e 2,...,e r, yəni e. i-ci xəttəsas sətirlərin xətti birləşməsidir: . və s.

Teorem 3. (determinantın sıfıra bərabər olması üçün zəruri və kafi şərt). n-ci dərəcəli D determinantının sıfıra bərabər olması üçün onun sətirlərinin (sütunlarının) xətti asılı olması zəruri və kifayətdir.

Sübut (s.40). Zərurət. Əgər n-ci dərəcəli determinant D sıfıra bərabərdirsə, onun matrisinin əsas minoru r düzülüdür.

Beləliklə, bir sıra digərlərinin xətti birləşməsidir. Onda, 1-ci teoremə görə, determinantın cərgələri xətti asılıdır.

Adekvatlıq. Əgər D sətirləri xətti asılıdırsa, onda 1-ci teoremlə bir sıra A i qalan cərgələrin xətti birləşməsidir. D-nin qiymətini dəyişmədən A i sətirindən göstərilən xətti kombinasiyanı çıxararaq, sıfır sətir alırıq. Deməli, determinantların xassələrinə görə D=0. və s.

Teorem 4. Elementar çevrilmələr zamanı matrisin rütbəsi dəyişmir.

Sübut. Determinantların xassələrini nəzərdən keçirərkən göstərildiyi kimi, kvadrat matrisləri çevirərkən onların təyinediciləri ya dəyişmir, ya da sıfırdan fərqli ədədə vurulur, ya da işarəsi dəyişir. Bu vəziyyətdə, orijinal matrisin sıfırdan fərqli kiçiklərinin ən yüksək sırası qorunur, yəni. matrisin dərəcəsi dəyişmir. və s.

Əgər r(A)=r(B), onda A və B olur ekvivalent: A~B.

Teorem 5. Elementar çevrilmələrdən istifadə edərək, matrisi -ə qədər azalda bilərsiniz pilləli görünüş. Matris deyilir addım-addım, əgər onun forması varsa:

A=, burada a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

r≤k şərtinə həmişə yer dəyişdirməklə nail olmaq olar.

Teorem 6. Eşelon matrisinin dərəcəsi onun sıfırdan fərqli cərgələrinin sayına bərabərdir .

Bunlar. Addım matrisinin dərəcəsi r-ə bərabərdir, çünki r sırasının sıfırdan fərqli minoru var:

Matris dərəcəsi anlayışı onun sətir və ya sütunlarının xətti asılılığı (müstəqilliyi) anlayışı ilə sıx bağlıdır. Gələcəkdə sütunlar üçün sətirlər üçün material təqdim edəcəyik.

Matrisdə A Onun sətirlərini aşağıdakı kimi qeyd edək:

Matrisin iki cərgəsinin bərabər olduğu deyilir, əgər onların uyğun elementləri bərabərdirsə: , əgər , .

Matris sətirləri üzərində hesab əməliyyatları (sətiri ədədə vurmaq, cərgə əlavə etmək) element-element yerinə yetirilən əməliyyatlar kimi təqdim olunur:

Xətt e sətirlərin xətti kombinasiyası adlanır..., matris, əgər bu sətirlərin hasillərinin ixtiyari həqiqi ədədlərlə cəminə bərabərdirsə:

Matrisin sıraları adlanır xətti asılıdır, əgər eyni vaxtda sıfıra bərabər olmayan ədədlər varsa, belə ki, matrisa sətirlərinin xətti kombinasiyası sıfır cərgəyə bərabər olsun:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Teorem 3.3Əgər matrisin ən azı bir cərgəsi digərlərinin xətti kombinasiyasıdırsa, matrisin sıraları xətti asılıdır.

□ Doğrudan da, (3.3) düsturunda müəyyənlik olsun

Beləliklə, sıra qalan cərgələrin xətti birləşməsidir. ■

Əgər (3.3) sətirlərin xətti kombinasiyası sıfıra bərabərdirsə və yalnız və yalnız bütün əmsallar sıfıra bərabərdirsə, o zaman cərgələr xətti müstəqil adlanır.

Teorem 3.4.(matrisanın dərəcəsi haqqında) Matrisin dərəcəsi onun bütün digər sətirlərinin (sütunlarının) xətti olaraq ifadə olunduğu xətti müstəqil sətirlərin və ya sütunların maksimum sayına bərabərdir.

□ matris olsun Aölçüsü m n dərəcəyə malikdir r(r dəq). Bu o deməkdir ki, sıfır olmayan minor var r-ci sifariş. Sıfır olmayan hər hansı kiçik r ci sifariş əsas minor adlanacaq.

Müəyyənlik üçün əsas minor olsun aparıcı və ya künc kiçik. Sonra matrisin cərgələri xətti müstəqildir. Bunun əksini fərz edək, yəni bu sətirlərdən biri, məsələn, digərlərinin xətti birləşməsidir. Elementlərdən çıxarın r- 1-ci cərgənin 1-ci cərgənin elementləri ilə vurulur, sonra 2-ci cərgənin elementləri , ... ilə vurulur və elementlər ( r- 1) - ci sıra ilə vurulur. 8-ci xassə əsasında, matrisin belə çevrilmələri ilə onun təyinedicisi D dəyişməyəcək, lakin o vaxtdan bəri r- sıra indi yalnız sıfırlardan ibarət olacaq, onda D = 0 bir ziddiyyətdir. Buna görə də matrisin cərgələrinin xətti asılı olması ilə bağlı fərziyyəmiz yanlışdır.

Gəlin xətləri çağıraq əsas. Göstərək ki, matrisin istənilən (r+1) sətirləri xətti asılıdır, yəni. hər hansı sətir əsaslar baxımından ifadə edilir.

Sözügedən minoru başqa cərgənin elementləri ilə tamamlamaqla əldə edilən birinci dərəcəli minoru (r +1) nəzərdən keçirək. i və sütun j. Matrisin dərəcəsi olduğu üçün bu minor sıfırdır r, buna görə də hər hansı daha yüksək dərəcəli kiçik sıfırdır.

Sonuncu (əlavə) sütunun elementlərinə görə genişləndirərək, alırıq

Axırıncı cəbri tamamlayıcının modulunun əsas minorla üst-üstə düşdüyü yerdə D və buna görə də sıfırdan fərqli, yəni. 0.

3. Voevodin V.V., Kuznetsov Yu.A. Matrislər və hesablamalar - M.: Nauka, 1984.-320s.

4. İlyin V.A., Poznyak E.G. Xətti cəbr - M.: “Elm”, 1978. - 304 s.

bəzi nömrələr haradadır (bu nömrələrin bəziləri və ya hətta hamısı sıfıra bərabər ola bilər). Bu o deməkdir ki, sütunların elementləri arasında aşağıdakı bərabərliklər mövcuddur:

(3.3.1)-dən belə çıxır ki

Əgər bərabərlik (3.3.3) doğrudursa, yalnız və yalnız olduqda, sətirlər xətti müstəqil adlanır. Münasibət (3.3.2) göstərir ki, əgər cərgələrdən biri digərləri ilə xətti şəkildə ifadə edilirsə, sətirlər xətti asılı olur.

Bunun əksini görmək asandır: əgər sətirlər xətti asılıdırsa, o zaman digər sətirlərin xətti kombinasiyası olan bir sətir var.

Məsələn, (3.3.3)-də, onda .

Tərif. A matrisində müəyyən r-ci dərəcəli minor müəyyən edilsin və eyni matrisin (r+1)-ci dərəcəli minoru tamamilə minoru ehtiva etsin. Deyəcəyik ki, bu halda azyaşlı azyaşlı ilə həmsərhəddir (və ya ilə həmsərhəddir).

İndi vacib bir lemmanı sübut edəcəyik.

Lemma həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanlar haqqında. Əgər A= matrisinin r dərəcəsinin minoru sıfırdan fərqlidirsə və onunla həmsərhəd olan bütün kiçiklər sıfıra bərabərdirsə, onda A matrisinin istənilən sətri (sütunları) onun sətirlərinin (sütunlarının) -i təşkil edən xətti birləşməsidir.

Sübut. Əsaslandırmanın ümumiliyini itirmədən, r-ci sıranın sıfırdan fərqli minorunun A = matrisinin yuxarı sol küncündə olduğunu fərz edəcəyik:

.

A matrisinin ilk k cərgəsi üçün lemmanın ifadəsi aydındır: xətti birləşməyə eyni cərgəni birə bərabər əmsallı, qalanları isə sıfıra bərabər əmsallarla daxil etmək kifayətdir.

İndi sübut edək ki, A matrisinin qalan cərgələri birinci k sətirlər vasitəsilə xətti şəkildə ifadə olunur. Bunun üçün minora k-ci sətri () əlavə edərək (r+1) sırasının minorunu qururuq və l inci sütun ():

.

Nəticədə minor bütün k və l üçün sıfıra bərabərdir. Əgər , onda iki eyni sütundan ibarət olduğu üçün sıfıra bərabərdir. Əgər , onda yaranan minor üçün sərhəd olan minordur və deməli, lemmanın şərtlərinə görə sıfıra bərabərdir.

Minoru sonuncunun elementlərinə görə parçalayaq l ci sütun:

Fərz etsək, alırıq:

(3.3.6)

(3.3.6) ifadəsi o deməkdir ki, A matrisinin k-ci cərgəsi birinci r sətirləri vasitəsilə xətti şəkildə ifadə edilir.

Bir matris köçürüldükdə, onun kiçiklərinin dəyərləri dəyişmədiyi üçün (determinantların xüsusiyyətinə görə), sübut edilmiş hər şey sütunlar üçün də doğrudur. Teorem sübut edilmişdir.

Nəticə I. Matrisin hər hansı cərgəsi (sütun) onun əsas sətirlərinin (sütunlarının) xətti birləşməsidir. Həqiqətən, matrisin əsas minoru sıfırdan fərqlidir və onunla həmsərhəd olan bütün kiçiklər sıfıra bərabərdir.

Nəticə II. n-ci dərəcəli determinant o halda sıfıra bərabərdir ki, o, xətti asılı sətirləri (sütunları) ehtiva edir. Determinantın sıfıra bərabər olması üçün sətirlərin (sütunların) xətti asılılığının kafiliyi determinantların xassəsi kimi əvvəllər sübut edilmişdir.

Zəruriliyi sübut edək. Bizə yeganə minoru sıfır olan n-ci dərəcəli kvadrat matrisa verilsin. Buradan belə çıxır ki, bu matrisin dərəcəsi n-dən azdır, yəni. bu matrisin əsas sətirlərinin xətti kombinasiyası olan ən azı bir sıra var.

Matrisin dərəcəsi ilə bağlı başqa bir teoremi sübut edək.

Teorem. Bir matrisin xətti müstəqil sətirlərinin maksimum sayı onun xətti müstəqil sütunlarının maksimum sayına bərabərdir və bu matrisin dərəcəsinə bərabərdir.

Sübut. A= matrisinin dərəcəsi r-ə bərabər olsun. Onda onun k əsas sətirlərindən hər hansı biri xətti müstəqildir, əks halda əsas minor sıfıra bərabər olacaqdır. Digər tərəfdən, hər hansı r+1 və ya daha çox sətir xətti asılıdır. Əksinə fərz etsək, əvvəlki lemmanın 2-ci nəticəsi ilə sıfırdan fərqli olan r-dən böyük sıranın minorunu tapa bilərik. Sonuncu, sıfır olmayan yetkinlik yaşına çatmayanların maksimum sırasının r olması ilə ziddiyyət təşkil edir. Sətirlər üçün sübut edilmiş hər şey sütunlar üçün də doğrudur.

Yekun olaraq, matrisin rütbəsini tapmaq üçün başqa bir üsul təsvir edəcəyik. Bir matrisin dərəcəsi, sıfırdan fərqli olan maksimum sıranın minorunu tapmaqla müəyyən edilə bilər.

İlk baxışdan bunun üçün sonlu, lakin bəlkə də bu matrisin çox böyük sayda kiçiklərinin hesablanması tələb olunur.

Aşağıdakı teorem buna əhəmiyyətli sadələşdirmələr daxil etməyə imkan verir.

Teorem.Əgər A matrisinin minoru sıfırdan fərqlidirsə və onunla həmsərhəd olan bütün kiçiklər sıfıra bərabərdirsə, matrisin dərəcəsi r-ə bərabərdir.

Sübut. S>r üçün matris cərgələrinin hər hansı alt sisteminin teoremin şərtlərinə uyğun olaraq xətti asılı olacağını göstərmək kifayətdir (bundan belə nəticə çıxaracaq ki, r xətti müstəqil matrisa cərgələrinin maksimum sayı və ya onun hər hansı kiçik sıralarının k-dən böyükdür. sıfıra bərabərdir).

Bunun əksini fərz edək. Sətirlər xətti müstəqil olsun. Yetkinlik yaşına çatmayanların sərhədlənməsi ilə bağlı lemmaya görə, onların hər biri kiçik olan və sıfırdan fərqli olduğuna görə xətti müstəqil olan sətirlər vasitəsilə xətti şəkildə ifadə ediləcəkdir:

İndi aşağıdakı xətti birləşməni nəzərdən keçirin:

və ya

(3.3.7) və (3.3.8) istifadə edərək əldə edirik

,

xətti cərgə müstəqilliyinə ziddir.

Nəticə etibarı ilə bizim fərziyyəmiz səhvdir və deməli, teorem şərtləri altında istənilən S>r sətir xətti asılıdır. Teorem sübut edilmişdir.

Bu teoremə əsaslanaraq, matrisin rütbəsinin hesablanması qaydasını - yetkinlik yaşına çatmayanların sərhədlənməsi metodunu nəzərdən keçirək.

Bir matrisin rütbəsini hesablayarkən, aşağı dərəcəli azyaşlılardan daha yüksək dərəcəli kiçiklərə keçmək lazımdır. Əgər sıfırdan fərqli r-ci dərəcənin minoru artıq tapılıbsa, onda yalnız (r+1)-ci dərəcənin kiçiklə həmsərhəd olan kiçiklərini hesablamaq lazımdır. Əgər onlar sıfıra bərabərdirsə, matrisin dərəcəsi r-ə bərabərdir. Yalnız matrisin rütbəsini hesablamamaqla yanaşı, həm də matrisin əsas minorunu hansı sütunların (sətirlərin) təşkil etdiyini müəyyən etsək, bu üsuldan da istifadə olunur.

Misal. Sərhədsiz kiçiklər metodundan istifadə edərək matrisin dərəcəsini hesablayın

Həll. A matrisinin yuxarı sol küncündə yerləşən ikinci dərəcəli minor sıfırdan fərqlidir:

.

Bununla belə, onunla həmsərhəd olan bütün üçüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar sıfıra bərabərdir:

;	;
;	;
;	.

Buna görə də A matrisinin dərəcəsi ikiyə bərabərdir: .

Bu matrisin birinci və ikinci sətirləri, birinci və ikinci sütunları əsasdır. Qalan sətirlər və sütunlar onların xətti birləşmələridir. Əslində, simlər üçün aşağıdakı bərabərliklər mövcuddur:

Sonda aşağıdakı xüsusiyyətlərin etibarlılığını qeyd edirik:

1) matrislərin hasilinin dərəcəsi amillərin hər birinin dərəcəsindən çox deyil;

2) ixtiyari A matrisinin sağda və ya solda qeyri-sinqulyar kvadrat matrisi Q ilə hasilinin dərəcəsi A matrisinin dərəcəsinə bərabərdir.

Çoxhədli matrislər

Tərif. Çoxhədli matris və ya -matris, elementləri ədədi əmsalları olan bir dəyişəndə ​​çoxhədli olan düzbucaqlı matrisdir.

Elementar çevrilmələr -matrislər üzərində aparıla bilər. Bunlara daxildir:

İki sıranın (sütunların) yenidən təşkili;

Sətirin (sütunun) sıfırdan fərqli bir rəqəmə vurulması;

Bir cərgəyə (sütun) başqa bir sətir (sütun) əlavə etməklə istənilən polinomla vurulur.

İki -matris və eyni ölçülərdə ekvivalent adlanır: əgər matrisdən sonlu sayda elementar çevrilmələrdən istifadə etməyə keçə bilsəniz.

Misal. Matris ekvivalentliyini sübut edin

,

.

1. Matrisdə birinci və ikinci sütunları dəyişdirin:

.

2. İkinci sətirdən birincini çıxarın, (() ilə çarpın:

.

3. İkinci sətri (–1) ilə vurun və qeyd edin

.

4. İkinci sütundan birincini çıxarırıq, çarpırıq, alırıq

.

Verilmiş ölçülərin bütün -matrisləri çoxluğu ekvivalent matrislərin ayrı-ayrı siniflərinə bölünür. Bir-birinə ekvivalent olan matrislər bir sinfi, ekvivalent olmayanlar isə digər sinfi təşkil edir.

Ekvivalent matrislərin hər bir sinfi verilmiş ölçülərin kanonik və ya normal matrisası ilə xarakterizə olunur.

Tərif. Kanonik və ya normal ölçülər matrisi əsas diaqonalında çoxhədlilər olan matrisdir, burada p m və n ədədlərindən kiçikdir ( ) və sıfıra bərabər olmayan çoxhədlilərin aparıcı əmsalları 1-ə bərabərdir və hər bir sonrakı çoxhədli əvvəlkinə bölünür. Əsas diaqonaldan kənar bütün elementlər 0-dır.

Tərifdən belə çıxır ki, çoxhədlilər arasında sıfır dərəcə çoxhədlilər varsa, onlar əsas diaqonalın əvvəlindədirlər. Sıfırlar varsa, onlar əsas diaqonalın sonundadırlar.

Əvvəlki nümunənin matrisi kanonikdir. Matris

həm də kanonik.

-matrislərin hər bir sinfi özünəməxsus kanonik -matrisdən ibarətdir, yəni. Hər bir matris unikal kanonik matrisə ekvivalentdir ki, bu matrisin kanonik forması və ya normal forması adlanır.

Verilmiş -matrisin kanonik formasının baş diaqonalında yerləşən polinomlara bu matrisin invariant amilləri deyilir.

İnvariant amillərin hesablanması üsullarından biri verilmiş -matrisanı kanonik formaya endirməkdir.

Beləliklə, əvvəlki nümunənin matrisi üçün invariant amillərdir

Yuxarıda deyilənlərdən belə nəticə çıxır ki, eyni invariant amillər toplusunun olması -matrislərin ekvivalentliyi üçün zəruri və kafi şərtdir.

-matrislərin kanonik formaya salınması invariant amillərin müəyyən edilməsinə qədər azaldılır

, ; ,

burada r matrisin dərəcəsidir; - 1-ə bərabər aparıcı əmsalı ilə qəbul edilən k-ci dərəcəli kiçiklərin ən böyük ortaq bölməsi.

Misal. -matris verilsin

.

Həll. Aydındır ki, birinci sıranın ən böyük ortaq bölməsi, yəni. .

İkinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanları təyin edək:

,

və s.

Artıq bu məlumatlar nəticə çıxarmaq üçün kifayətdir: buna görə də .

müəyyən edirik

,

Beləliklə, .

Beləliklə, bu matrisin kanonik forması aşağıdakı matrisdir:

.

Matris polinomu formanın ifadəsidir

dəyişən haradadır; - ədədi elementləri olan n dərəcəli kvadrat matrislər.

Əgər , onda S matris polinomunun dərəcəsi adlanır, n matrisin çoxhədli sırasıdır.

İstənilən kvadrat -matris matris polinomu kimi təqdim edilə bilər. Aydındır ki, əks ifadə də doğrudur, yəni. istənilən matris polinomu kvadrat matris kimi təqdim edilə bilər.

Bu müddəaların etibarlılığı matrislər üzərində əməliyyatların xüsusiyyətlərindən aydın şəkildə irəli gəlir. Aşağıdakı nümunələrə baxaq:

Misal. Çoxhədli matrisi təmsil edin

aşağıdakı kimi matris polinomu şəklində

.

Misal. Matris polinomu

aşağıdakı polinom matrisi ( -matris) kimi təqdim edilə bilər

.

Matris çoxhədliləri və çoxhədli matrislərin bu cür dəyişdirilməsi faktor və komponent analizi üsullarının riyazi aparatında mühüm rol oynayır.

Eyni tərtibli matris polinomları ədədi əmsallı adi çoxhədlilərlə eyni şəkildə əlavə edilə, çıxıla və vurula bilər. Bununla belə, yadda saxlamaq lazımdır ki, matris polinomlarının vurulması, ümumiyyətlə, kommutativ deyil, çünki Matrisin vurulması kommutativ deyil.

İki matrisin çoxhədli əmsalları bərabər olduqda bərabər deyilir, yəni. dəyişənin eyni səlahiyyətləri üçün uyğun matrislər.

İki matris çoxhədlinin cəmi (fərqi) dəyişənin hər dərəcəsi üçün əmsalı çoxhədlilərdəki eyni dərəcə üçün əmsalların cəminə (fərqinə) bərabər olan matris polinomudur.

Matris çoxhədlini matris polinomuna vurmaq üçün matris polinomunun hər bir həddini matrisin çoxhədli həddi ilə vurmaq, alınan hasilləri toplamaq və oxşar həddlər gətirmək lazımdır.

Matris polinomunun dərəcəsi amillərin dərəcələrinin cəmindən kiçik və ya ona bərabər olan hasildir.

Matris çoxhədliləri üzərində əməliyyatlar müvafiq -matrislər üzərində əməliyyatlardan istifadə etməklə yerinə yetirilə bilər.

Matris polinomlarını əlavə etmək (çıxmaq) üçün müvafiq -matrisləri əlavə etmək (çıxmaq) kifayətdir. Eyni şey çoxalmaya da aiddir. -matris polinomlarının hasilinin matrisi amillərin -matrislərinin hasilinə bərabərdir.

Digər tərəfdən və şəklində yazıla bilər

burada B 0 tək olmayan matrisdir.

Bölmə zamanı unikal sağ hissə və sağ qalıq olur

burada R 1 dərəcəsi dərəcədən azdır və ya (qalıqsız bölmə), eləcə də sol hissə və sol qalıq yalnız və yalnız və yalnız o halda

A matrisinin hər bir sırası e i = (a i 1 a i 2 …, a in) ilə işarələnir (məsələn,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n) və s.). Onların hər biri nömrə ilə vurula bilən və ya başqa bir cərgəyə əlavə edilə bilən bir sıra matrisidir ümumi qaydalar matrislərlə əməliyyatlar.

Xətti birləşmə e l , e 2 ,...e k xətləri bu sətirlərin hasillərinin ixtiyari həqiqi ədədlərlə cəmi adlanır:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k, burada l l, l 2,..., l k ixtiyari ədədlərdir (xətti birləşmənin əmsalları).

matrisin sıraları e l , e 2 ,...e m adlanır xətti asılı, eyni zamanda sıfıra bərabər olmayan l l , l 2 ,..., l m ədədləri varsa, matrisin sətirlərinin xətti kombinasiyası sıfır cərgəyə bərabər olsun:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, burada 0 = (0 0...0).

Xətti asılılıq matrisin sıraları o deməkdir ki, matrisin ən azı bir cərgəsi digərlərinin xətti birləşməsidir. Həqiqətən də, müəyyənlik üçün son əmsal l m ¹ 0 olsun. Sonra bərabərliyin hər iki tərəfini l m-ə bölərək, qalan sətirlərin xətti kombinasiyası kimi sonuncu sətir üçün ifadə alırıq:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .

Əgər satırların xətti birləşməsi sıfıra bərabərdirsə və yalnız bütün əmsallar sıfıra bərabər olduqda, yəni. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, onda xətlər adlanır. xətti müstəqil.

Matris dərəcə teoremi. Matrisin dərəcəsi onun bütün digər sətir və ya sütunlarının xətti olaraq ifadə oluna biləcəyi xətti müstəqil sətir və ya sütunların maksimum sayına bərabərdir.

Gəlin bu teoremi sübut edək. m x n ölçülü A matrisi r (r(A) £ min (m; n)) dərəcəsinə malik olsun. Nəticə etibarilə, r-ci sıranın sıfırdan fərqli minoru mövcuddur. Hər belə azyaşlıya zəng edəcəyik əsas. Aydın olmaq üçün azyaşlı olsun

Bu azyaşlının sətirləri də çağırılacaq əsas.

Sübut edək ki, onda e l , e 2 ,...e r matrisinin sətirləri xətti müstəqildir. Bunun əksini fərz edək, yəni. bu sətirlərdən biri, məsələn, r-ci, digərlərinin xətti kombinasiyasıdır: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Onda ondan çıxsaq, elementlər r-th sətirlər l l ilə vurulan 1-ci cərgənin elementləri, 2-ci cərgənin elementləri l 2 ilə vurulan elementlər və s., nəhayət, (r-1)-ci sıranın elementləri l r-1 ilə vurulur, sonra r-ci xətt sıfır olacaq. Bu zaman determinantın xassələrinə görə yuxarıda göstərilən determinant dəyişməməli və eyni zamanda sıfıra bərabər olmalıdır. Bir ziddiyyət əldə edilir xətti müstəqillik xətləri sübut edilmişdir.

İndi matrisin istənilən (r+1) sətirlərinin xətti asılı olduğunu sübut edirik, yəni. istənilən sətir əsaslar baxımından ifadə edilə bilər.

Əvvəllər hesab edilən minoru daha bir sıra (i-ci) və daha bir sütunla (j-ci) tamamlayaq. Nəticədə, dərəcənin tərifinə görə sıfıra bərabər olan (r+1) sırasının minorunu alırıq.

Eyni düzənli vektorlar sistemi, uyğun xətti kombinasiya vasitəsilə bu vektorlardan sıfır vektoru əldə etmək olarsa, xətti asılı adlanır. (Xətti birləşmənin bütün əmsallarının sıfıra bərabər olmasına icazə verilmir, çünki bu, əhəmiyyətsiz olardı.) Əks halda vektorlar xətti müstəqil adlanır. Məsələn, aşağıdakı üç vektor:

xətti asılıdır, çünki bunu yoxlamaq asandır. Xətti asılılıq vəziyyətində istənilən vektor həmişə digər vektorların xətti kombinasiyası ilə ifadə oluna bilər. Bizim nümunəmizdə: ya və ya Bunu müvafiq hesablamalarla yoxlamaq asandır. Bu, aşağıdakı tərifə gətirib çıxarır: vektor bu vektorların xətti kombinasiyası kimi təqdim edilə bilmirsə, digər vektorlardan xətti müstəqildir.

Xətti asılı və ya xətti müstəqil olduğunu dəqiqləşdirmədən vektorlar sistemini nəzərdən keçirək. Sütun vektorlarından ibarət olan hər bir sistem üçün a, xətti müstəqil vektorların maksimum mümkün sayını müəyyən etmək mümkündür. Hərfi ilə göstərilən bu rəqəm bu vektor sisteminin rütbəsidir. Hər bir matrisə sütun vektorları sistemi kimi baxmaq mümkün olduğundan, matrisin dərəcəsi onun tərkibində olan xətti müstəqil sütun vektorlarının maksimum sayı kimi müəyyən edilir. Sətir vektorlarından matrisin rütbəsini təyin etmək üçün də istifadə olunur. Hər iki üsul eyni matris üçün eyni nəticəni verir və ən kiçiyi keçə bilməz və ya Sıralı kvadrat matrisin rütbəsi 0 ilə arasında dəyişir. Bütün vektorlar sıfırdırsa, belə bir matrisin dərəcəsi sıfırdır. Bütün vektorlar bir-birindən xətti müstəqildirsə, matrisin dərəcəsi bərabərdir. Yuxarıdakı vektorlardan bir matris meydana gətirsək, bu matrisin dərəcəsi 2-dir, çünki hər iki vektor xətti birləşmə ilə üçdə birinə endirilə bilər, onda dərəcə 3-dən azdır.

Ancaq əmin ola bilərik ki, onların hər iki vektoru xətti müstəqildir, buna görə də dərəcə

Kvadrat matrisin sütun vektorları və ya sətir vektorları xətti asılı olarsa, tək adlanır. Belə bir matrisin təyinedicisi sıfıra bərabərdir və yuxarıda qeyd edildiyi kimi onun tərs matrisi mövcud deyildir. Bu nəticələr bir-birinə bərabərdir. Nəticədə, sütun vektorları və ya cərgə vektorları bir-birindən müstəqildirsə, kvadrat matris qeyri-tək və ya qeyri-tək adlanır. Belə bir matrisin determinantı sıfıra bərabər deyil və onun tərs matrisi mövcuddur (səh. 43 ilə müqayisə edin)

Matrisin dərəcəsi olduqca açıq həndəsi şərhə malikdir. Əgər matrisin rütbəsi -yə bərabərdirsə, o zaman -ölçülü fəzanın vektorlarla əhatə olunduğu deyilir. Əgər rütbə belədirsə, vektorlar hamısını ehtiva edən ölçülü alt fəzada yerləşir. Beləliklə, matrisin rütbəsi "bütün vektorları ehtiva edən" fəzanın minimum tələb olunan ölçüsünə uyğundur -ölçülü fəzada -ölçülü alt fəza -ölçülü hiperplan adlanır; Matrisin dərəcəsi bütün vektorların hələ də yerləşdiyi hipertəpənin ən kiçik ölçüsünə uyğundur.

Əməliyyat